We study the problem of small motions of a system of immiscible ideal fluids with a free surface consisting of two domains: a domain of elastic ice and a domain of crushed ice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. By crushed ice we mean weighty particles of some substance floating on the free surface. We also assume that the interface between the fluid layers is a weighty surface. Using the method of orthogonal projection of boundary conditions and the introduction of auxiliary problems, we reduce the original initial-boundary value problem to an equivalent Cauchy problem for a second-order differential equation in a Hilbert space. We obtain the conditions under which there is a strong-in-time solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of this hydraulic system. We prove statements about the structure of the spectrum of the problem and about the basis property of the system of eigenfunctions.
Изучается задача о малых движениях системы из несмешивающихся идеальных жидкостей со свободной поверхностью, состоящей из двух областей: участка упругого льда и участка крошеного льда. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества. Предполагается также, что граница раздела слоев жидкости является весомой поверхностью. Используя метод ортогонального проектирования граничных условий и введения вспомогательных задач, исходную начально-краевую задачу сводим к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы. Доказаны утверждения о структуре спектра задачи и о базисности системы собственных функций.