In this paper, we study the initial-boundary value problem for a second-order nonhomogeneous hyperbolic equation in a half-strip of the plane with constant coefficients, containing a mixed derivative, with zero and nonzero potentials. This equation is the equation of transverse oscillations of a moving finite string. We consider the case of fixed ends (Dirichlet conditions). We assume that the roots of the characteristic equation are simple and lie on the real axis on different sides of the origin. We formulate our previously proven theorems on finite formulas for a generalized solution in the case of homogeneous and nonhomogeneous problems. Then, based on these formulas, we prove theorems on finite formulas for a classical solution or, in other words, a solution almost everywhere. In the second part of the paper, we formulate theorems on generalized solution of the initial-boundary value problem with ordinary potential and potential of general type, which we had proved earlier. These results are based on the idea of treating an equation with a potential as an inhomogeneity in an equation without a potential. This idea was previously used by A. P. Khromov and V. V. Kornev in the case of equation without mixed derivative. Further, on the basis of formulas for generalized solution to the problem with potentials, we prove theorems on the corresponding formulas for classical solutions for these two types of potentials.
Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка в полуполосе плоскости с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с нулевым и ненулевым потенциалами. Данное уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Формулируются доказанные ранее автором теоремы о конечных формулах для обобщённого решения в случае однородной и неоднородной задач. Затем на основе этих формул доказываются теоремы о конечных формулах для классического решения или, по-другому, решения почти всюду. Во второй части статьи формулируются доказанные ранее автором теоремы об обобщённом решении начально-граничной задачи с обычным потенциалом и потенциалом общего вида. В основе этих результатов лежит идея трактовать уравнение с потенциалом, как неоднородность в уравнении без потенциала. Эта идея ранее использовалась А.П. Хромовым и В.В. Корневым в случае уравнения без смешанной производной. И, далее, на основе формул для обобщённого решения задачи с потенциалами доказываются теоремы о соответствующих формулах для классических решений для этих двух видов потенциалов.