Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4113910.22363/2413-3639-2024-70-3-389-402PPXEPNArticlesСтатьиResearch ArticleOn expanding attractors of arbitrary codimensionО растягивающихся аттракторах произвольной коразмерностиZhuzhomaE. V.ЖужомаЕ. В.zhuzhoma@mail.ruMedvedevV. S.МедведевВ. С.medvedev-1942@mail.ruNational Research University “Higher School of Economics”Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»15102024703VOL 70, NO3 (2024)ТОМ 70, №3 (2024)38940215102024Copyright ©; 2024, Zhuzhoma E.V., Medvedev V.S.Copyright ©; 2024, Жужома Е.В., Медведев В.С.2024Zhuzhoma E.V., Medvedev V.S.Жужома Е.В., Медведев В.С.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/41139

Thanks to the works by R.V. Plykin and V.Z. Grines, the most studied expanding attractors are orientable attractors of codimension one of A -diffeomorphisms of multidimensional closed manifolds and one-dimensional attractors on closed surfaces. In this paper, we prove that there exist closed manifolds of any dimension, starting with three, admitting structurally stable diffeomorphisms and diffeomorphisms satisfying Smale’s axiom A, with expanding attractors of arbitrary codimension. For some codimensions the type of manifolds is obtained.

Благодаря работам Р.В. Плыкина и В.З. Гринеса, наиболее изученными растягивающимися аттракторами являются ориентируемые аттракторы коразмерности один A -диффеоморфизмов многомерных замкнутых многообразий и одномерные аттракторы на замкнутых поверхностях. В статье доказывается, что существуют замкнутые многообразия любой размерности, начиная с трех, допускающие структурно устойчивые диффеоморфизмы и диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме A Смейла, с растягивающимися аттракторами произвольной коразмерности. Для некоторых коразмерностей уточняется вид многообразий.

expanding attractorA-diffeomorphismclosed manifoldattracting neighborhoodрастягивающийся аттракторA-диффеоморфизмзамкнутое многообразиепритягивающая окрестностьThe article was prepared as a result of the research conducted within the framework of the project “International Academic Cooperation” of the National Research University “Higher School of Economics,” except for the proof of the theorem 4, which was supported by the Russian Science Foundation (grant 22-11-00027).Статья подготовлена в результате проведения исследования в рамках проекта «Международное академическое сотрудничество» Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики», кроме доказательства теоремы 4, поддержанного Российским научным фондом (грант 22-11-00027).Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. -М.: Наука, 1967.Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН.-1967.-90.-С. 3-210.Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем// В сб.: «Тpуды пятой междунаpодной конфеpенции по нелинейным колебаниям. Т. 2. Качественные методы».-Киев: Инcт. мат. АН УССP, 1970.- С. 39-44.Гринес В.З. О топологической сопpяженности диффеомоpфизмов двумеpного многообpазия на одномеpных базисных множествах// Усп. мат. наук.- 1974.- 29, № 6.- С. 163-164.Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 1// Тр. ММО.- 1975.- 32.- С. 35-60.Гринес В.З., Жужома Е.В. О грубых диффеоморфизмах с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности один// Докл. РАН. -2000.- 374.-С. 274-276.Гринес В.З., Жужома Е.В. Структурно устойчивые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один// Изв. РАН. Сер. Мат.- 2002.-66, № 2.- С. 3-66.Гринес В.З., Починка О.В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три.- М.-Ижевск: РХД, 2011.Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности.- М.: ГИИЛ, 1948.Жужома Е.В., Медведев В. С. О неориентируемых двумерных базисных множествах на 3многообразиях// Мат. сб.- 2002.-193, № 6. -С. 83-104.Жужома Е.В., Медведев В.С. О двумерных растягивающихся аттракторах A-потоков// Мат. заметки. -2020.- 107, № 5.- С. 787-790.Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике.-М.- Ижевск: Инст. комп. иссл., 2013.Плыкин Р.В. О топологии базисных множеств диффеоморфизмов Смейла// Мат. сб.- 1971.- 84.- С. 301-312.Плыкин Р.В. Источники и стоки A-диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб.- 1974.-94.-С. 243-264.Плыкин Р.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов// Усп. мат. наук.- 1984.- 39, № 6.- С. 75-113.Хирш М. Дифференциальная топология.-М.: Мир, 1979.Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma E. Introduction to the Qualitative Theory of Dynamical Systems on Surfaces.-Providence: Am. Math. Soc., 1996.Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds// Math. Nachr.- 1983.-112.- С. 69-102.Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms// Trans. Am. Math. Soc.- 1971.- 154.- С. 337-397.Farrel F.T., Jones L.E. New attractors in hyperbolic dynamics// Diff. Geom.- 1980.- 15.-С. 107-133.Farrel F.T., Jones L.E. Expanding immesions on branched manifolds// Am. J. Math. - 1981.- 103, № 1. -С. 41-101.Grines V., Zhuzhoma E. On structurally stable diffeomorphisms with codimension one expanding attractors// Trans. Am. Math. Soc. -2005.-357.- С. 617-667.Grines V., Zhuzhoma E. Expanding attractors// Regul. Chaotic Dyn. -2006.- 11, № 2.-С. 225-246.Grines V., Zhuzhoma E. Surface Laminaions and Chaotic Dynamical Systems.- Izhevsk: R&C Dynam., Inst. Comp. Sci., 2021.Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds.- Berlin-Heidelberg: Springer, 1977.Jiang B., Ni Y., Wang Sh. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors// Trans. Am. Math. Soc. -2004.- 356.- С. 335-346.Jones L.E. Locally strange hyperbolic sets// Trans. Am. Math. Soc. -1983.- 275, № 1.-С. 153-162.Jones L.E. Anosov diffeomorphisms and expanding immersions. II// Trans. Am. Math. Soc.- 1986.- 294, № 1. -С. 197-216.Ma J., Bin Yu. The realization of Smale solenoid type attractors in 3-manifolds// Topology Appl. - 2007.- 154.- С. 3021-3031.Ma J., Bin Yu. Genus two Smale-Williams solenoid attractors in 3-manifolds// J. Knot Theory Ramifications.-2011.- 20, № 6.- С. 909-926.Man˜´e R. A proof of C1 stability conjecture// Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. -1988.-´ 66.- С. 161- 210.Medvedev V., Zhuzhoma E. On the existence of codimension one non-orientable expanding attractors// J. Dyn. Contr. Syst. -2005.-11, № 3. -С. 405-411.Medvedev V., Zhuzhoma E. Two-dimensional attractors of A-flows and fibered links on three-manifolds// Nonlinearity.-2022.-35.-С. 2192-2205.Robinson C. Structural stability of C1 diffeomorphisms// J. Differ. Equ. -1976.- 22, № 1.- С. 28-73.Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos.- Boca Raton: CRC Press, 1999.Robinson C., Williams R. Classification of expanding attractors: an example// Topology.- 1976.- 15.- С. 321-323.Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc.- 1967.- 73.-С. 741-817.Williams R. Expanding attractors// Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. -1974.-´ 43.-С. 169-203.