Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3869610.22363/2413-3639-2024-70-1-53-76YPMUOAArticlesСтатьиResearch ArticleAveraging method for problems on quasiclassical asymptoticsМетод осреднения для задач о квазиклассических асимптотикахDobrokhotovS. Yu.ДоброхотовС. Ю.s.dobrokhotov@gmail.comNazaikinskiiV. E.НазайкинскийВ. Е.nazaikinskii@yandex.ruCentre of Integrable Systems, P. G. Demidov Yaroslavl State UniversityЦентр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваIshlinsky Institute for Problems in Mechanics of the RASИнститут проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН15032024701Functional spaces. Differential operators. Problems of mathematics educationФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования537609042024Copyright ©; 2024, Dobrokhotov S.Y., Nazaikinskii V.E.Copyright ©; 2024, Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е.2024Dobrokhotov S.Y., Nazaikinskii V.E.Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/38696

The averaging method is developed for operators with rapidly oscillating coefficients, intended for use in problems of quasiclassical asymptotics and not assuming a periodic structure of coefficient oscillations. Algebras of locally averaged functions are studied, an averaging theorem for differential operators of general form is proved, and some features of the method are illustrated using the example of the wave equation.

Разрабатывается метод осреднения для операторов с быстроосциллирующими коэффициентами, предназначенный для использования в задачах о квазиклассических асимптотиках и не предполагающий периодической структуры осцилляций коэффициентов. Исследуются алгебры локально усреднимых функций, доказывается теорема об осреднении для дифференциальных операторов общего вида, некоторые особенности применения метода иллюстрируются на примере волнового уравнения.

averaging methodsrapidly oscillating coefficientsquasiclassical asymptoticsalgebras of locally averaged functionsметоды осреднениябыстроосциллирующие коэффициентыквазиклассические асимптотикиалгебры локально усреднимых функцийThe research was supported by the grant of the Russian Science Foundation (project № 21-71-30011).Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-71-30011).Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах.- М.: Наука, 1984.Берлянд Л.В., Доброхотов С.Ю. Операторное разделение переменных в задачах о коротковолновой асимптотике для дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. -1987.- 296, № 1.-С. 80-84.Борисов Д.И. Об усреднении операторов с возмущениями общего вида в младших членах// Мат. заметки.- 2023.- 113, № 1.- С. 132-137.Брюнинг Й., Грушин В.В., Доброхотов С.Ю. Осреднение линейных операторов, адиабатическое приближение и псевдодифференциальные операторы// Мат. заметки.- 2012.- 92, № 2.-С. 163-180.Буслаев В.С. Квазиклассическое приближение для уравнений с периодическими коэффициентами// Усп. мат. наук.- 1987.- 42, № 6.-С. 77-98.Грошев А.В. Теорема о системе линейных форм// Докл. АН СССР. - 1938.-№ 19.-С. 151-152.Доброхотов С.Ю. Резонансы в асимптотике решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера с быстроосциллирующим конечно-зонным потенциалом// Мат. заметки.-1988.-44, № 3.- С. 319-340.Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Асимптотики волновых и вихревых локализованных решений линеаризованных уравнений мелкой воды// В сб.: «Актуальные проблемы механики». -М.: Наука, 2015.-С. 98-139.Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Тироцци Б. О методе осреднения для дифференциальных операторов с осциллирующими коэффициентами// Докл. РАН. - 2015.- 461, № 5.- С. 516-520.Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Шафаревич А.И. Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах// Изв. РАН. Сер. мат.-2017.- 81, № 2. -С. 53-96.Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Шафаревич А.И. Эффективные асимптотики решений задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений// Усп. мат. наук.-2021.- 76, № 5.-С. 3-80.Дородный М.А., Суслина Т.А. Усреднение гиперболических уравнений// Функц. анализ и его прилож.- 2016.- 50, № 4.-С. 91-96.Дородный М.А., Суслина Т.А. Усреднение гиперболических уравнений: операторные оценки при учете корректоров// Функц. анализ и его прилож.- 2023.- 57, № 4.- С. 123-129.Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов.- М.: Наука, 1993.Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Нгоан Ха Тьен. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов// Усп. мат. наук.-1979.- 34, № 5.-С. 65-133.Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук.- 2016.-71, № 3.- С. 27-122.Жиков В.В., Пастухова С.Е. О сходимости блоховских собственных функций в задачах усреднения// Функц. анализ и его прилож. - 2016.- 50, № 3.-С. 47-65.Жиков В.В., Пятницкий А.Л. Усреднение случайных сингулярных структур и случайных мер// Изв. РАН. Сер. мат.-2006.-70, № 1.- С. 23-74.Караева Д.А., Караев А.Д., Назайкинский В.Е. Метод осреднения в задаче о распространении длинных волн от локализованного источника в бассейне над неровным дном// Дифф. уравн.-2018.- 54, № 8. -С. 1075-1089.Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти-периодическими быстроосциллирующими коэффициентами// Мат. сб.-1978.-107, № 2.-С. 199-217.Козлов С.М. Осреднение случайных операторов// Мат. сб.-1979.- 109, № 2.- С. 188-202.Кузмак Г.Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами// Прикл. мат. и мех. -1951.-23, № 3. -С. 519-526.Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.- М.: МГУ, 1965.Маслов В.П. Операторные методы.- М.: Мир, 1976.Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Методы некоммутативного анализа.-М.: Техносфера, 2002.Назаров С.А., Пятницкий А.Л. Осреднение спектральной задачи Дирихле для системы дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами при плотности переменного знака// Пробл. мат. анализа.- 2010.- 47.- С. 75-107.Пастухова С.Е. Об операторных оценках усреднения для эллиптических систем высокого порядка// Мат. заметки.-2023.- 114, № 3.- С. 370-389.Суслина Т.А. Теоретико-операторный подход к усреднению уравнений типа Шрёдингера с периодическими коэффициентами// Усп. мат. наук.-2023.- 78, № 6. -С. 47-178.Alicandro R., Ansini N., Braides A., Piatnitski A., Tribuzio A. Periodic homogenization// В сб.: «A Variational Theory of Convolution-Type Functionals».-Singapore: Springer, 2023.-С. 59-89Belov V.V., Dobrokhotov S.Yu., Tudorovskiy T.Ya. Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics// J. Eng. Math.- 2006.- 55, № 1-4.-С. 183-237.Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis of Periodic Structures.- Amsterdam: North-Holland, 1978.Borisov D.I. Homogenization for operators with arbitrary perturbations of coefficients// J. Differ. Equ. - 2023.-369.- С. 41-93.Bru¨ning J., Dobrokhotov S.Yu., Grushin V.V. Approximate formulas for the eigenvalues of a Laplace operator on a torus, which arises in linear problems with oscillating coefficients// Russ. J. Math. Phys.- 2012.-19, № 3.- С. 1-10.Calvo-Jurado C., Casado-D´ıaz J., Luna-Laynez M. Homogenization of the Poisson equation with Dirichlet conditions in random perforated domains// J. Comput. Appl. Math. - 2015.- 275.-С. 375-381.Cancedda A., Chiado Piat V., Nazarov S.A., Taskinen J. Spectral gaps for the linear water-wave problem in a channel with thin structures// Math. Nachr.- 2022.- 295.- С. 657-682.Chung E., Efendiev Ya., Hou Th. Y. Multiscale Model Reduction. Multiscale Finite Element Methods and Their Generalizations.- Cham: Springer, 2023.Dobrokhotov S.Yu., Nazaikinskii V.E. Homogenization of the Cauchy problem for the wave equation with rapidly varying coefficients and initial conditions// В сб.: «Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics».- Cham: Birkh¨auser, 2022.-С. 77-102.Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics// Phys. Rev.- 1951.-84, № 2.- С. 108-128.Heida M., Neukamm S., Varga M. Stochastic two-scale convergence and Young measures// Netw. Heterog. Media.- 2022.- 17, № 2.- С. 227-254.Khintchine A.J. Einige S¨atze u¨ber Kettenbr¨uche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen// Math. Ann. - 1924.- 92.- С. 115-125.Marchenko V.A., Khruslov E.Ya. Homogenization of Partial Differential Equations. -Boston: Birkha¨user, 2006.Nguetseng G. Homogenization in perforated domains beyond the periodic setting// J. Math. Anal. Appl. - 2004.-289.- С. 608-628.Piatnitski A., Remy E. Homogenization of elliptic difference operators// SIAM J. Math. Anal.- 2001.- 33, № 1.- С. 53-83.Piatnitski A., Sloushch V., Suslina T., Zhizhina E. On operator estimates in homogenization of nonlocal operators of convolution type// J. Differ. Equ. - 2023.- 352.-С. 153-188.Piatnitski A., Zhizhina E. Periodic homogenization of nonlocal operators with a convolution-type kernel// SIAM J. Math. Anal. -2017.- 49, № 1. -С. 64-81.Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory.- Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1980.Whitham G.B. Two-timing, variational principles and waves// J. Fluid Mech. -1970.- 44.-С. 373-395.Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves.- New York: Wiley, 1974.