An explicit form of weak solutions to the Riemann problem for a degenerate nonlinear parabolic equation with a piecewise constant diffusion coe cient is found. It is shown that the lines of phase transitions (free boundaries) correspond to the minimum point of some strictly convex and coercive function of a nite number of variables. A similar result is true for Stefan’s problem. In the limit, when the number of phases tends to in nity, there arises a variational formulation of self-similar solutions to the equation with an arbitrary nonnegative diffusion function.
Найден явный вид слабых решений задачи Римана для вырождающегося нелинейного параболического уравнения с кусочно постоянным коэффициентом диффузии. Показано, что линии фазовых переходов (свободные границы) соответствуют точке минимума некоторой строго выпуклой и коэрцитивной функции конечного числа переменных. Аналогичный результат верен и для задачи Стефана. В пределе, когда число фаз стремится к бесконечности, возникает вариационная формулировка автомодельных решений уравнения с произвольной неотрицательной функцией диффузии.