We consider sewing machinery between nite difference and analytical solutions de ned at different scales: far away and near the source of the perturbation of the flow. One of the essences of the approach is that the coarse problem and the boundary-value problem in the proxy of the source model two different flows. In his remarkable paper, Peaceman proposes a framework for dealing with solutions de ned on different scales for linear time independent problems by introducing the famous Peaceman well block radius. In this article, we consider a novel problem: how to solve this issue for transient flow generated by the compressibility of the fluid. We are proposing a method to glue solution via total fluxes, which are prede ned on coarse grid, and changes in pressure, due to compressibility, in the block containing production (injection) well. It is important to mention that the coarse solution “does not see” the boundary. From an industrial point of view, our report provides a mathematical tool for the analytical interpretation of simulated data for compressible fluid flow around a well in a porous medium. It can be considered a mathematical “shirt” on the Peaceman well-block radius formula for linear (Darcy) transient flow but can be applied in much more general scenarios. In the article, we use the Einstein approach to derive the material balance equation, a key instrument to de ne R0. We will expand the Einstein approach for three regimes of Darcy and non-Darcy flows for compressible fluids (time-dependent): 1. stationary; 2. pseudostationary; 3. boundary dominated. Note that in all known authors literature, the rate of production on the well is time-independent.
Мы рассматриваем технику «сшивания» численного решения конечноразностной задачи и аналитического решения, определенных на разных масштабах: вдали и вблизи границы (источника) области течения. Суть подхода заключается в том, что грубая конечноразностная задача и краевая задача в приближении исходной модели математически моделируют два разных режима течения. В своей замечательной статье Писман предлагает схему, позволяющую работать с решениями, определенными на разных масштабах, для линейных стационарных задач, вводя знаменитый радиус блока скважины Писмана. В данной статье предлагается новый подход к решению этой проблемы для неустановившегося течения, обусловленного сжимаемостью жидкости. Мы предлагаем метод склеивания решений через суммарные потоки, заданные на крупной сетке, и изменения давления, обусловленные сжимаемостью, в блоке, содержащем добывающую (нагнетательную) скважину. Важно отметить, что грубое решение «не видит» границы. С прикладной точки зрения наш отчет предоставляет математический аппарат для аналитической интерпретации смоделированных данных течения сжимаемой жидкости в пористой среде вблизи скважины. Его можно рассматривать как математическую «обертку» известной формулы радиуса блока скважины Писмана для линейного (Дарси) неустановившегося течения, но его можно применять и в гораздо более общем сценарии. В статье мы используем подход Эйнштейна для вывода уравнения материального баланса, ключевого инструмента для определения R0 для трех режимов течений сжимаемой жидкости (зависящих от времени): 1. стационарный; 2. псевдостационарный; 3. с доминированием граничного условия. Отметим, что в известных авторам работах соответствующая задача фактически не зависит от времени.