Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3747910.22363/2413-3639-2023-69-4-599-620YQAAREArticlesСтатьиResearch ArticleEta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary-value problemsЭта-инвариант эллиптических краевых задач с параметромZhuikovK. N.ЖуйковК. Н.zhuykovcon@gmail.comSavinA. Yu.СавинА. Ю.a.yu.savin@gmail.comRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов15122023694VOL 69, NO4 (2023)ТОМ 69, №4 (2023)59962018012024Copyright ©; 2023, Zhuikov K.N., Savin A.Y.Copyright ©; 2023, Жуйков К.Н., Савин А.Ю.2023Zhuikov K.N., Savin A.Y.Жуйков К.Н., Савин А.Ю.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/37479

In this paper, we study the eta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary value problems and its main properties. Using Melrose’s approach, we de ne the eta-invariant as a regularization of the winding number of the family. In this case, the regularization of the trace requires obtaining the asymptotics of the trace of compositions of invertible parameter-dependent boundary value problems for large values of the parameter. Obtaining the asymptotics uses the apparatus of pseudodifferential boundary value problems and is based on the reduction of parameter-dependent boundary value problems to boundary value problems with no parameter.

В работе исследуется эта-инвариант эллиптических краевых задач с параметром и его основные свойства. Используя подход Мельроуза, мы определяем эта-инвариант как регуляризацию числа вращения семейства. При этом регуляризация следа включает получение асимптотики следа композиций обратимых краевых задач с параметром при больших значениях параметра. Получение асимптотики использует аппарат псевдодифференциальных краевых задач и опирается на сведение краевых задач с параметром к краевым задачам без параметра.

eta-invariantelliptic parameter-dependent boundary value problempseudodi erential boundary value problemBoutet de Monvel operatorregularized traceэта-инвариантэллиптическая краевая задача с параметромпсевдодифференциальная краевая задачаоператор Буте де Монвелярегуляризованный следThis work was supported in part by the Young Russian Mathematics award and by RFBR and DFG, project No. 21-51-12006.Работа выполнена при частичной финансовой поддержке конкурса «Молодая математика России» и РФФИ, проект № 21-51-12006.Агранович М. С. Об эллиптических псевдодифференциальных операторах на замкнутой кривой// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1984. - 47. - С. 22-67.Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Усп. мат. наук. - 1964. - 19, № 3. - C. 53-161.Жуйков К. Н. Савин А. Ю. Эта-инвариант для семейств с параметром и периодическими коэффициентами// Уфимск. мат. ж. - 2022. - 14, № 2. - С. 37-57.Жуйков К. Н., Савин А. Ю. Эта-инварианты для операторов с параметром, ассоциированных с действием дискретной группы// Мат. заметки. - 2022. - 112, № 5. - C. 705-717.Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1967. - 16. - С. 209-292.Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. - М.: Москва, 1986.Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 801-906.Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. - М: Наука, 1978.Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1973.Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1975. - 77. - С. 43-69.Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. II// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 78. - С. 405-432.Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. III// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 79. - С. 71-99.Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudodifferential operators// Acta Math. - 1971. - 126.- С. 11-51.Bunke U. On the gluing problem for the η-invariant// J. Differ. Geom. - 1995. - 41. - С. 397-488.Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicativity of signature and the Leray spectral sequence// J. Am. Math. Soc. - 1991. - 4. - С. 265-321.Donnelly H. Eta-invariants for G-spaces// Indiana Univ. Math. J. - 1978. - 27. - С. 889-918.Fedosov B. V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. The index of higher order operators on singular surfaces// Paci c J. Math. - 1999. - 191, № 1. - С. 25-48.Gilkey P. B., Smith L. The eta invariant for a class of elliptic boundary value problems// Commun. Pure Appl. Math. - 1983. - 36. - С. 85-132.Grubb G. Functional calculus of pseudodifferential boundary problems. - Boston: Birkh¨auser, 1996.Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators// Bull. Am. Math. Soc. - 2016. - 53, № 3. - С. 343-414.Lesch M. Differential operators of Fuchs type, conical singularities, and asymptotic methods. - Stuttgart- Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1997.Lesch M., Moscovici H., Pflaum M. J. Connes-Chern character for manifolds with boundary and eta cochains// Mem. Am. Math. Soc. - 2012. - 220, № 1036. - С. viii+92.Lesch M., Pflaum M. Traces on algebras of parameter dependent pseudodifferential operators and the eta-invariant// Trans. Am. Math. Soc. - 2000. - 352, № 11. - С. 4911-4936.Melrose R. The eta invariant and families of pseudodifferential operators// Math. Res. Lett. - 1995. - 2, № 5. - С. 541-561.Melrose R., Rochon F. Eta forms and the odd pseudodifferential families index// В сб.: «Perspectives in mathematics and physics: Essays dedicated to Isadore Singer’s 85th birthday». - Somerville: Int. Press, 2011. - С. 279-322.Mrowka T., Ruberman D., Saveliev N. An index theorem for end-periodic operators// Composю Math. - 2016. - 152, № 2. - С. 399-444.Mu¨ller W. Eta-invariants and manifolds with boundary// J. Differ. Geom. - 1994. - 40. - С. 311-377.Nazaikinskii V., Savin A., Schulze B.-W., Sternin B. Elliptic theory on singular manifolds. - Boca Raton: CRC-Press, 2005.Ruzhansky M., Turunen V. Global quantization of pseudo-differential operators on compact Lie groups, SU(2), 3-sphere, and homogeneous spaces// Int. Math. Res. Not. - 2013. - 2013, № 11. - С. 2439-2496.Savin A. Yu., Zhuikov K. N. η-invariant and index for operators on the real line periodic at in nity// Eurasian Math. J. - 2021. - 12, № 3. - С. 57-77.Schrohe E. A short introduction to Boutet de Monvel’s calculus// В сб.: «Approaches to singular analysis. Based on the workshop, Berlin, Germany, April 8-10, 1999». - Basel: Birkha¨user, 2001. - С. 85-116.Taubes C. H. Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds// J. Differ. Geom. - 1987. - 25, № 3. - С. 363-430.Zhuikov K. N. Index of differential-difference operators on an in nite cylinder// Russ. J. Math. Phys. - 2022. - 29, № 2. - С. 280-290.