The paper deals with the problem of stability for the flow of the 1D Burgers equation on a circle. Using some ideas from the theory of positivity preserving semigroups, we establish the strong contraction in the \(L^1\) norm. As a consequence, it is proved that the equation with a bounded external force possesses a unique bounded solution on \(R\), which is exponentially stable in \(H^1\) as \(t\to+\infty\). In the case of a random external force, we show that the difference between two trajectories goes to zero with probability \(1\).
В статье рассматривается проблема устойчивости потока одномерного уравнения Бюргерса на окружности. Используя некоторые идеи из теории сохраняющих положительность полугрупп, мы устанавливаем строгое сжатие в норме \(L^1.\) Как следствие, доказано, что уравнение с ограниченной внешней силой имеет единственное ограниченное решение на \( R, \) которое экспоненциально устойчиво в норме \(H^1\) при \(t\to+\infty.\) В случае случайной внешней силы показано, что разность между двумя траекториями стремится к нулю с вероятностью \(1.\)