In this paper, we study sequences of complex numbers of the first order. Multiple terms are allowed for such sequences. We also consider complex sequences with a finite maximum density. We construct special coverings of multiple sets {λk,nk} consisting of circles centered at points λk of special radii. In particular, we construct coverings are with connected components of a relatively small diameter, as well as coverings that are C0-sets. These coverings act as exceptional sets for entire functions of exponential type. Outside these sets, we obtain a representation of the logarithm of the modulus of an entire function. Previously, a similar representation was obtained by B. Ya. Levin outside the exceptional set, with respect to which only its existence is asserted. In contrast to this, in this paper we present a simple effective construction of an exceptional set. We construct bases of the invariant subspace of analytic functions in a convex domain. They consist of linear combinations of eigenfunctions and associated functions (exponential monomials) of the differentiation operator divided into relatively small groups.
В работе исследуются последовательности комплексных чисел первого порядка. Допускаются кратные члены у таких последовательностей. Рассматриваются также комплексные последовательности с конечной максимальной плотностью. Строятся специальные покрытия кратных множеств {λk,nk}, состоящие из кругов с центрами в точках λk специальных радиусов. В частности, строятся покрытия, связные компоненты которых имеют относительно малый диаметр, а также покрытия, которые являются C0-множествами. Эти покрытия выступают в роли исключительных множеств для целых функций экспоненциального типа. Вне этих множеств получено представление логарифма модуля целой функции. Ранее подобное представление было получено Б.Я. Левиным вне исключительного множества, относительно которого утверждается лишь его существование. В отличие от этого в данной работе приводится простое конструктивное построение исключительного множества. Построены базисы в инвариантном подпространстве аналитических функций в выпуклой области. Они состоят из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций (экспоненциальных мономов) оператора дифференцирования, разбитых на относительно малые группы.