We construct an efficient numerical-analytical method for solving the initial-boundary value problem for the Burgers equation on a segment with a periodic boundary condition. The method includes the reduction to a linear problem based on an explicit-implicit time discretization scheme and an analytical solution of an auxiliary linear problem at each time step using the explicit form of the corresponding Green’s function. The efficiency of the constructed method is due to the fact that the algorithm for solving the auxiliary problem has only linear complexity in terms of the number of spatial discretization nodes used, without involving difference approximations of the derivatives of the desired function. On the basis of the Cole-Hopf substitution, we obtain an explicit periodic solution of the problem on the interval and compare the results of the numerical implementation of the constructed algorithm with this explicit solution. The developed method demonstrated a combination of high computational efficiency and accuracy of the result.
Построен эффективный численно-аналитический метод решения начально-краевой задачи для уравнения Бюргерса на отрезке с периодическим краевым условием. Метод включает в себя редукцию к линейной задаче на основе явно-неявной схемы дискретизации по времени и аналитическое решение вспомогательной линейной задачи на каждом временном шаге с использованием явного вида соответствующей функции Грина. Эффективность построенного метода обусловлена тем, что алгоритм решения вспомогательной задачи имеет всего лишь линейную сложность по количеству используемых узлов пространственной дискретизации, не задействуя при этом разностные аппроксимации производных искомой функции. На основе подстановки Коула-Хопфа получено явное периодическое решение задачи на отрезке и проведено сопоставление результатов численной реализации построенного алгоритма с этим явным решением. Разработанный метод продемонстрировал сочетание высокой вычислительной эффективности и точности получаемого результата.