We study a class of equations in Banach spaces with a Riemann–Liouville-type integro-differential operator with an operator-valued convolution kernel. The properties of \(k\)-resolving operators of such equations are studied and the class \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) of linear closed operators is defined such that the belonging to this class is necessary and, in the case of commutation of the operator with the convolution kernel, is sufficient for the existence of analytic in the sector \(k\)-resolving families of operators of the equation under study. Under certain additional conditions on the convolution kernel, we prove theorems on the unique solvability of the nonhomogeneous linear equation of the class under consideration if the nonhomogeneity is continuous in the norm of the graph of the operator from the equation or Hölder continuous. We obtain the theorem on sufficient conditions on an additive perturbation of an operator of the class \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) in order that the perturbed operator also belong to such a class. Abstract results are used in the study of initial-boundary value problems for a system of partial differential equations with several fractional Riemann–Liouville derivatives of different orders with respect to time and for an equation with a fractional Prabhakar derivative with respect to time.
Исследуется класс уравнений в банаховых пространствах с интегро-дифференциальным оператором типа Римана—Лиувилля с операторнозначным ядром свертки. Исследованы свойства \(k\)-разрешающих операторов таких уравнений, определен класс \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) линейных замкнутых операторов, принадлежность которому необходима и в случае коммутирования оператора с ядром свертки достаточна для существования аналитических в секторе \(k\)-разрешающих семейств операторов исследуемого уравнения. При некоторых дополнительных условиях на ядро свертки доказаны теоремы об однозначной разрешимости неоднородного линейного уравнения рассматриваемого класса в случае непрерывной в норме графика оператора из уравнения или гельдеровой неоднородности. Доказана теорема о достаточных условиях на аддитивное возмущение оператора класса \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) для того, чтобы возмущенный оператор также принадлежал такому классу. Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для системы уравнений в частных производных с несколькими дробными производными Римана—Лиувилля по времени разных порядков и для уравнения с дробной производной Прабхакара по времени.