The stability of systems of linear autonomous functional differential equations of neutral type is studied. The study is based on the well-known representation of the solution in the form of an integral operator, the kernel of which is the Cauchy function of the equation under study. The definitions of Lyapunov, asymptotic, and exponential stability are formulated in terms of the corresponding properties of the Cauchy function, which allows us to clarify a number of traditional concepts without loss of generality. Along with the concept of asymptotic stability, a new concept of strong asymptotic stability is introduced. The main results are related to the stability with respect to the initial function from the spaces of summable functions. In particular, it is established that strong asymptotic stability with initial data from the space \(L_1\) is equivalent to the exponential estimate of the Cauchy function and, moreover, exponential stability with respect to initial data from the spaces \(L_p\) for any \(p\ge1.\)
Исследуется устойчивость систем линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. В основе исследования лежит известное представление решения в виде интегрального оператора, ядром которого является функция Коши исследуемого уравнения. Определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивости сформулированы в терминах соответствующих свойств функции Коши, что позволило без потери общности уточнить ряд традиционных понятий. Наряду с понятием асимптотической устойчивости вводится новое понятие сильной асимптотической устойчивости. Основные результаты связаны с устойчивостью по начальной функции из пространств суммируемых функций. В частности, установлено, что сильная асимптотическая устойчивость при начальных данных из пространства \(L_1\) равносильна экспоненциальной оценке функции Коши и, более того, экспоненциальной устойчивости по начальным данным из пространств \(L_p\) для любого \(p\ge1.\)