Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3459610.22363/2413-3639-2023-69-1-98-115EBRPUCArticlesСтатьиResearch ArticleEntropy and renormalized solutions for a nonlinear elliptic problem in Musielak-Orlicz spacesЭнтропийные и ренормализованные решения нелинейной эллиптической задачи в пространствах Музилака-ОрличаKozhevnikovaL. M.КожевниковаЛ. М.kosul@mail.ruSterlitamak Branch of Bashkir State UniversityСтерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологийElabuga Institute of Kazan Federal UniversityЕлабужский институт Казанского федерального университета31032023691Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения9811505052023Copyright ©; 2023, Kozhevnikova L.M.Copyright ©; 2023, Кожевникова Л.М.2023Kozhevnikova L.M.Кожевникова Л.М.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/34596

In this paper, we establish the equivalence of entropy and renormalized solutions of second-order elliptic equations with nonlinearities defined by the Musielak-Orlicz functions and the right-hand side from the space L1(Ω). In nonreflexive Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, we prove the existence and uniqueness of both entropy and renormalized solutions of the Dirichlet problem in domains with a Lipschitz boundary.

В работе установлена эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака-Орлича, и правой частью из пространства L1(Ω). В нерефлексивных пространствах Музилака-Орлича-Соболева доказаны существование и единственность как энтропийных, так и ренормализованных решений задачи Дирихле в областях с липшицевой границей.

second-order elliptic equationentropy solutionrenormalized solutionMusielak-Orlicz- Sobolev spaceexistence and uniqueness of solutionsэллиптическое уравнение второго порядкаэнтропийное решениеренормализованное решениепространство Музилака-Соболевасуществование и единственность решенийДанфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - M.: ИЛ, 1962.Кожевникова Л. М. Энтропийные и ренормализованные решения анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей// Мат. сб. - 2019. - 210, № 3. - С. 131-161.Ковалевский А. А., Скрыпник И. И., Шишков А. Е. Сингулярные решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. - Киев: Наукова думка, 1962.Кожевникова Л. М., Кашникова А. П. Эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений нелинейной эллиптической задачи в пространствах Музилака-Орлича// Дифф. уравн. - 2023. - 59. - С. 35-51.Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. - M.: Физматлит, 1958.Ahmida Y., Chlebicka I., Gwiazda P., Youssfi A. Gossez’s approximation theorems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces// J. Funct. Anal. - 2018. - 275, № 9. - С. 2538-2571.Ait Khellou M., Benkirane A. Renormalized solution for nonlinear elliptic problems with lower order terms and L1 data in Musielak-Orlicz spaces// An. Univ. Craiova Ser. Mat. Inform. - 2016. - 43, №2. - С. 164-187.Ait Khellou M., Douiri S. M., El Hadfi Y. Existence of solutions for some nonlinear elliptic equations in Musielak spaces with only the Log-H¨older continuity condition// Mediterr. J. Math. - 2020. - 17, № 1. - С. 1-18.Benilan Ph., Boccardo L., Gallou¨et Th., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J. L. An L1-theory of existence and nuniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. - 1995. - 22, № 2. - С. 241-273.Benkirane A., Sidi El Vally M. An existence result for nonlinear elliptic equations in Musielak-Orlicz- Sobolev spaces// Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. - 2013. - 20, № 1. - С. 57-75.Benkirane A., Sidi El Vally M. Variational inequalities in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces// Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. - 2014. - 21, № 5. - С. 787-811.Boccardo L., Gallou¨et Th. Nonlinear elliptic equations with right-hand side measures// Commun. Part. Differ. Equ. - 1992. - 17, № 3-4. - С. 641-655.Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces// Nonlinear Anal. - 2018. - 175. - С. 1-27.Chlebicka I. Measure data elliptic problems with generalized Orlicz growth// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 2023. - 153, № 2. - С. 588-618.Denkowska A., Gwiazda P., Kalita P. On renormalized solutions to elliptic inclusions with nonstandard growth// Calc. Var. Partial Differ. Equ. - 2021. - 60, № 21. - С. 1-44.Elarabi R., Rhoudaf M., Sabiki H. Entropy solution for a nonlinear elliptic problem with lower order term in Musielak-Orlicz spaces// Ric. Mat. - 2018. - 67, № 2. - С. 549-579.Elemine Vall M. S. B., Ahmedatt T., Touzani A., Benkirane A. Existence of entropy solutions for nonlinear elliptic equations in Musielak framework with L1 data// Bol. Soc. Parana Mat. - 2018. - 36, №1. - С. 125- 150.Gwiazda P., Skrzypczaka I., Zatorska-Goldstein A. Existence of renormalized solutions to elliptic equation in Musielak-Orlicz space// Differ. Equ. - 2018. - 264. - С. 341-377.Gwiazda P., S´wierczewska-Gwiazda A., Wro´blewska A. Monotonicity methods in generalized Orlicz spaces for a class of non-Newtonian fluids// Math. Methods Appl. Sci. - 2010. - № 2. - С. 125-137.Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces. - Berlin: Springer, 1983.Talha A., Benkirane A. Strongly nonlinear elliptic boundary value problems in Musielak-Orlicz spaces// Monatsh. Math. - 2018. - 186, № 4. - С. 745-776.Ying Li, Fengping Y., Shulin Zh. Entropy and renormalized solutions to the general nonlinear elliptic equations in Musielak-Orlicz spaces// Nonlinear Anal. Real World Appl. - 2021. - 61. - С. 1-20.