Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)33533ArticlesСтатьиResearch ArticleAntikompakty i ikh prilozheniya k analogam teorem Lyapunova i Lebega v prostranstvakh FresheАнтикомпакты и их приложения к аналогам теорем Ляпунова и Лебега в пространствах ФрешеStonyakinF. S.СтонякинФ. С.fedyor@mail.ru1512201453VOL 53, NO (2014)ТОМ 53, № (2014)15517610022023Copyright ©; 2014, Stonyakin F.S.Copyright ©; 2014, Стонякин Ф.С.2014Stonyakin F.S.Стонякин Ф.С.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/33533

-

В работе вводится понятие антикомпактного множества (антикомпакта) в пространствах Фреше. Детально исследованы свойства как самих антикомпактов, так и шкалы банаховых пространств, порожденных антикомпактами. Особо рассмотрена система антикомпактных эллипсоидов в гильбертовых пространствах. Доказано существование системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше \(E.\) На базе построенной теории получены аналоги теоремы Ляпунова о выпуклости и компактности образа векторной меры в классе сепарабельных пространств Фреше: показана выпуклость и компактность замыкания множества значений векторной меры в некотором пространстве \(E_{\overline{C}},\) порожденном некоторым антикомпактом \(\overline{C}.\) Также исследована проблема недифференцируемости интеграла Петтиса по верхнему пределу. Получены условия дифференцируемости неопределенных интегралов Петтиса в терминах новых характеристик "— слабой интегральной ограниченности, а также \(\sigma\)-компактной измеримости. Доказан аналог теоремы Лебега о дифференцируемости неопределенного интеграла Петтиса для всякого сильно измеримого подынтегрального отображения.

Аркин В. И., Левин В. Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи// Усп. мат. наук. - 1972. - 27, № 3. - С. 21-77.Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы. - М.: Наука, 1971.Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. - М.: Наука, 1985.Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи// Усп. мат. наук. - 1968. - 23, № 6. - С. 51-116.Кадец В. М. Курс функционального анализа. - Х.: ХНУ им. В. Н. Каразина, 2006.Кутателадзе С. С. Теорема Ляпунова, зоноиды и бэнг-бэнг// В сб. «Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения». - Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2011. - С. 262-264.Ляпунов А. А. О вполне аддитивных вектор-функциях// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1940. - 4.- С. 465-478.Ляпунов А. Н. Теорема А. А. Ляпунова о выпуклости значений мер// В сб. «Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения». - Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2011. - С. 257-261.Орлов И. В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2008. - 29. - С. 165-175.Орлов И. В., Стонякин Ф. С. Предельная форма свойства Радона-Никодима верна в произвольном пространстве Фреше// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2010. - 37. - С. 55-69.Стонякин Ф. С. Компактный субдифференциал вещественных функций// Динам. сист. - 2007. - 23.- С. 99-112.Стонякин Ф. С. Секвенциальный подход к понятию компактного субдифференциала для отображений в метризуемые ЛВП// Уч. зап. Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. «Мат. Мех. Информ. и киберн.» - 2008. - 21 (60), № 1. - C. 41-53.Стонякин Ф. С. K-свойство Радона-Никодима для пространств Фреше// Уч. зап. Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. «Мат. Мех. Информ. и киберн.» - 2009. - 22 (61), № 1. - С. 102-113.Стонякин Ф. С. Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования// Тр. ИПММ НАН Украины. - 2010. - 20. - С. 168-176.Стонякин Ф. С. Сильные компактные характеристики и предельная форма свойства Радона-Никодима для векторных зарядов со значениями в пространствах Фреше// Уч. зап. Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. «Физ.-мат. науки». - 2010. - 23 (62), № 1. - С. 131-149.Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М: ИЛ, 1962.Эдвардс Э. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969.Cascales B., Kadets V., Rodriguez J. Measurable selectors and set-valued Pettis integral in non-separable Banach spaces// J. Funct. Anal. - 2009. - 256, № 3. - С. 673-699.Chen Y., Lai J., Parkes D. C., Procaccia A. D. Truth, justice, and cake cutting// Games Econom. Behav. - 2013. - 77, № 1. - С. 284-297.Dai P., Feinberg E. A. Extension of Lyapunov’s convexity theorem to subranges// arXiv:1102.2534v1 [math.PR]. - 2011.Diestel J., Uhl J. J. Vector measures. - Providence: Am. Math. Soc., 1977.Dilworth S. J., Girardi M. Nowhere weak di erentiability of the Pettis integral// Quaest. Math. - 1995. - 18, № 4. - С. 365-380.Kadets V. M., Shumyatskiy B., Shvidkoy R., Tseytlin L., Zheltukhin K. Some remarks on vector-valued integration// Math. Phys. Anal. Geom. - 2002. - 9. - С. 48--65.Maccheroni F., Marinacci M. How to cut a pizza fairly: fair division with decreasing marginal evaluations// Soc. Choice Welf. - 2003. - 20, № 3. - С. 457-465.Marrafa V. The variational McShane integral in locconvex spaces// Rocky Mountain J. Math. - 2009. - 39, № 6. - C. 1993-2013.Moedomo S., Uhl J. J. Radon-Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals// Paci c J. Math. - 1971. - 38, № 2. - С. 531-536.Mossel E., Tamuz O. Truthful fair division// arXiv:1003.5480v2 [cs.GT]. - 2010.Naralenkov K. M. On Denjoy type extensions of the Pettis integral// Czechoslovak Math. J. - 2010. - 60, № 3. - С. 737-750.Naralenkov K. M. On continuity and compactness of some vector-valued integrals// Rocky Mountain J. Math. - 2013. - 43, № 3. - С. 1015-1022.Neyman J. Un the´ore`m d’existence// C. R. Math. Acad. Sci. Paris - 1946. - 222. - С. 843-845.Orlov I. V., Stonyakin F. S. Strong compact properties of the mappings and K-property of Radon-Nikodym// Methods Funct. Anal. Topology. - 2010. - 16, № 2. - С. 183-196.Yoon J. H., Park J. M., Kim Y. K., Kim B. M. The AP-Henstok extension of the Dunford and Pettis integral// J. Chungcheong Math. Soc. - 2010. - 23, № 4. - С. 879-884.