Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)33529ArticlesСтатьиResearch ArticleSingulyarnye nachal'nye i kraevye zadachi dlya integrodifferentsial'nykh uravneniy v dinamicheskikh modelyakh strakhovaniya s uchetom investitsiyСингулярные начальные и краевые задачи для интегродифференциальных уравнений в динамических моделях страхования с учетом инвестицийBelkinaT. A.БелкинаТ. А.tbel@cemi.rssi.ruKonyukhovaN. B.КонюховаН. Б.nadja@ccas.ruKurochkinS. V.КурочкинС. В.kuroch@ccas.ruЦЭМИ РАНВЦ РАН1512201453VOL 53, NO (2014)ТОМ 53, № (2014)52910022023Copyright ©; 2014, Belkina T.A., Konyukhova N.B., Kurochkin S.V.Copyright ©; 2014, Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В.2014Belkina T.A., Konyukhova N.B., Kurochkin S.V.Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/33529Приводятся основные результаты исследования двух математических моделей страхования с учетом поведения страховой компании на финансовом рынке - вложение постоянной доли капитала в рисковый актив (акции) и оставшейся доли - в безрисковый актив (банковский счет); заменой параметров - характеристик акций - такая стратегия сводится к случаю вложения всего капитала в рисковый актив. Первая модель основана на классическом процессе риска Краме´ра-Лундберга при экспоненциальном распределении размеров страховых требований (исков); в основе второй модели - модификация классического процесса риска (так называемый процесс риска со случайными премиями) при экспоненциальных распределениях как размеров исков, так и размеров страховых взносов (премий). Для вероятности неразорения страховой компании за бесконечное время (как функции ее начального капитала) возникают сингулярные задачи для линейных интегродифференциальных уравнений (ИДУ) второго порядка, определенных на полубесконечном интервале и обладающих неинтегрируемыми особенностями в нуле и на бесконечности: первая модель приводит к сингулярной начальной задаче с ограничениями для ИДУ с вольтерровым интегральным оператором, вторая - к более сложной краевой задаче с ограничениями и нелокальным условием в нуле для ИДУ с невольтерровым интегральным оператором. Задачи для ИДУ сводятся к эквивалентным сингулярным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Приводятся теоремы существования и единственности решений с описанием их свойств и глобального поведения, даны асимптотические представления решений в окрестностях особых точек. Предложены эффективные алгоритмы численного нахождения решений, приведены результаты расчетов и дана их экономическая интерпретация.1.Абрамов А. А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1961. - 1, № 1. - С. 733-737.2.Абрамов А. А. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1961. - 1, № 4. - С. 733-737.3.Абрамов А. А., Балла К., Конюхова Н. Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ВЦ АН СССР, 1981.4.Абрамов А. А., Диткин В. В., Конюхова Н. Б., Парийский Б. С., Ульянова В. И. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1980. - 20, № 5. - С. 1155-1173.5.Абрамов А. А., Конюхова Н. Б. Перенос допустимых граничных условий из особой точки для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ВЦ АН СССР, 1985.6.Абрамов А. А., Конюхова Н. Б., Балла К. Устойчивые начальные многообразия и сингулярные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Comput. Math. Banach Cent. Publ. - 1984. - 13. - С. 319-351.7.Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991.8.Бахвалов Н. С. Численные методы. - Москва: Наука, 1973.9.Белкина Т. А. Теоремы достаточности для вероятности неразорения в динамических моделях страхования с учетом инвестиций// В сб.: «Анализ и моделирование экономических процессов». - 2011. - № 8. - С. 61-74.10.Белкина Т. А., Конюхова Н. Б., Куркина А. О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: I. Инвестиционные стратегии и вероятность разорения// Обозрение прикладной и промышленной математики (секция: «Финансовая и страховая математика»). - 2009. - 16, № 6. - С. 961-981.11.Белкина Т. А., Конюхова Н. Б., Куркина А. О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: II. Модель Крамe´ра-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований// Обозрение прикладной и промышленной математики (секция: «Финансовая и страховая математика»). - 2010. - 17, № 1. - С. 3-24.12.Белкина Т. А., Конюхова Н. Б., Курочкин С. В. Сингулярная начальная задача для линейного интегродифференциального уравнения, возникающего в моделях страховой математики// Spectr. Evolution Probl. - 2011. - 21, № 1. - С. 40-54.13.Белкина Т. А., Конюхова Н. Б., Курочкин С. В. Сингулярная краевая задача для интегродифференциального уравнения в модели страхования со случайными премиями: анализ и численное решение// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2012. - 52, № 10. - C. 1812-1846.14.Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во иностр. лит., 1954.15.Биргер Е. С., Ляликова (Конюхова) Н. Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности// I: Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1965. - 5, № 6. - С. 979-990; II: Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1966. - 6, № 3. - С. 446-453.16.Бойков А. В. Модель Крамe´ра-Лундберга со стохастическими премиями// Теория вероятностей и ее применения. - 2002. - 47, № 3. - С. 549-553.17.Бойков А. В. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения// Дисс. к.ф.-м.н. - М.: Матем. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, 2003.18.Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968.19.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976.20.Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во иностр. лит., 1958.21.Конюхова Н. Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1983. - 23, № 3. - С. 629-645.22.Конюхова Н. Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений. - М.: ВЦ АН СССР, 1988.23.Конюхова Н. Б. Сингулярные задачи Коши для некоторых систем нелинейных функциональнодифференциальных уравнений// Дифф. уравн. - 1995. - 31, № 8. - С. 1340-1347.24.Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. - М.: Физматлит, 2007.25.Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001.26.Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983.27.Abramov A. A., Konyukhova N. B. Transfer of admissible boundary conditions from a singular point for systems of linear ordinary di erential equations// Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. - 1986. - 1, № 4. - С. 245-265.28.Bachelier L. The´orie de la spe´culation// Ann. de l’E´ c. Norm. (3). - 1900. - 17. - С. 21-86. (Переиздано в: Coothner P. H. (ред.) The random character of stock market prices. - Cambridge: MIT Press, 1967. - P. 517-531).29.Belkina T., Hipp C., Luo S., Taksar M. Optimal constrained investment in the Cramer-Lundberg model// Scand. Actuar. J. - 2014. - DOI: 10.1080/03461238.2012.699001. - В печати.30.Belkina T. A., Konyukhova N. B., Kurochkin S. V. Singular problems for integro-differential equations in dynamic insurance models// В сб.: «Di erential and difference equations with applications». - New York: Springer, 2013. - С. 27-44.31.Frolova A., Kabanov Yu., Pergamenshchikov S. In the insurance business risky investments are dangerous// Finance Stoch. - 2002. - 6, № 2. - С. 227-235.32.Grandell J. Aspects of risk theory. - Berlin-New York: Springer, 1991.33.Kalashnikov V., Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments// Stochastic Process. Appl. - 2002. - 98. - С. 211-228.34.Konyukhova N. B. Singular problems for systems of nonlinear functional-differential equations// Spectr. Evolution Probl. - 2010. - 20. - С. 199-214.35.Ramos A. Controlled Markov models. An application to the ruin problem// PhD Thesis. - Madrid: Universidad Carlos III de Madrid, 2009.36.Zinchenko N., Andrusiv A. Risk processes with stochastic premiums// Theory Stoch. Process. - 2008. - 14 (30), № 3-4 - С. 189-208.