We study the existence of solutions to the problem
\[\label{eng_A1} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{in }\;\Omega,\\ u=\mu & \text{on }\;\partial\Omega \end{array}\]
in a bounded domain \(\Omega\), where \(p>1\), \(1<q<2\), \(M>0\), \(\mu\) is a nonnegative Radon measure in \(\partial\Omega\), and the associated problem with a boundary isolated singularity at \(a\in\partial\Omega,\)
\[\label{eng_A2} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{in }\;\Omega,\\ u=0 & \text{on }\;\partial\Omega\setminus\{a\}. \end{array}\]
The difficulty lies in the opposition between the two nonlinear terms which are not on the same nature. Existence of solutions to [eng_A1] is obtained under a capacitary condition \[\mu(K)\leq
c\min\left\{cap^{\partial\Omega}_{\frac{2}{p},p'},cap^{\partial\Omega}_{\frac{2-q}{q},q'}\right\}\quad\text{for
all compacts }K\subset\partial\Omega.\] Problem [eng_A2] depends on several critical exponents on \(p\) and \(q\) as well as the position of \(q\) with respect to \(\dfrac{2p}{p+1}\).
Мы изучаем существование решений задачи
\[\label{A1} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\ u=\mu & \text{на }\;\partial\Omega \end{array}\]
в ограниченной области \(\Omega\), где \(p>1\), \(1<q<2\), \(M>0\), \(\mu\) "— неотрицательная мера Радона в \(\partial\Omega,\) а также связанной с ней задачи с изолированной граничной особенностью в точке \(a\in\partial\Omega,\)
\[\label{A2} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\ u=0 & \text{на }\;\partial\Omega\setminus\{a\}. \end{array}\]
Трудность заключается в оппозиции двух нелинейных членов, имеющих разную природу. Существование решений задачи [A1] достигается при емкостном условии
\[\mu(K)\leq c\min\left\{cap^{\partial\Omega}_{\frac{2}{p},p'},cap^{\partial\Omega}_{\frac{2-q}{q},q'}\right\}\quad\text{для всех компактов }K\subset\partial\Omega.\]
Задача [A2] зависит от нескольких критических условий на \(p\) и \(q\), а также от соотношения величин \(q\) и \(\dfrac{2p}{p+1}\).