Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32602ArticlesСтатьиResearch ArticleTraces of Generalized Solutions of Elliptic Di erential-Di erence Equations with DegenerationСледы обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождениемPopovV. A.ПоповВладимир Алексеевичvolodimir.a@gmail.comRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов1512201662VOL 62, NO (2016)ТОМ 62, № (2016)12413914112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32602The paper is devoted to di erential-di erence equations with degeneration in a bounded domain Q ⊂ Rn. We consider di erential-di erence operators that cannot be expressed as a composition of a strongly elliptic di erential operator and a degenerated di erence operator. Instead of this, operators under consideration contain several degenerated di erence operators corresponding to di erentiation operators. Generalized solutions of such equations may not belong even to the Sobolev space W12(Q). Earlier, under certain conditions on di erence and di erentiation operators, we had obtained a priori estimates and proved that the orthogonal projection of the generalized solution onto the image of the di erence operator preserves certain smoothness inside some subdomains Qr ⊂ Q (Ur Qr = Q) instead of r the whole domain. In this paper, we prove necessary and su cient conditions in algebraic form for existence of traces on some parts of boundaries of subdomains Qr.В работе рассматривается дифференциально-разностное уравнение с вырождением в ограниченной области Q ⊂ Rn в случае дифференциально-разностного оператора, который не может быть представлен в виде композиции сильно эллиптического дифференциального оператора и вырожденного разностного оператора, а содержит несколько вырожденных разностных операторов, соответствующих операторам дифференцирования. Обобщенные решения таких уравнений могут не принадлежать даже пространству Соболева W12(Q). Ранее при выполнении определенных условий на разностные операторы и операторы дифференцирования были получены априорные оценки, с помощью которых удалось доказать, что ортогональная проекция обобщенного решения на образ разностного оператора уже обладает определенной гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях Qr ⊂ Q (Ur Qr = Q). В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия в алгебраической форме существования следов на некоторых частях границ подобластей Qr.1.Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. - 1969. - 185, № 4. - С. 739-740.2.Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Мат. сб. - 35, № 3. - 1954. - С. 513-568.3.Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. - М.: Мир, 1966.4.Иванова Е. П. Непрерывная зависимость решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений от сдвигов аргумента// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2016. - 59. - C. 74-96.5.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.6.Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области// Докл. АН СССР. - 1951. - 77. - С. 181-183.7.Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1971.8.Лионс Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.9.Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976.10.Муравник А. Б. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений// Мат. заметки. - 2016. - 100, № 4. - C. 566-576.11.Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. - М.: ВИНИТИ, 1971.12.Попов В. А., Скубачевский А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2010. - 36. - С. 125-142.13.Попов В. А., Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциальноразностных уравнений с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2011. - 39. - С. 130-140.14.Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. - 1996. - 59, № 1. - C. 103-113.15.Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2014. - 36. - С. 125-142.16.Скубачевский A. Л. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1997. - 59. - С. 240-285.17.Скубачевский A. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 3-112.18.Тасевич А. Л. Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 58. - C. 153-165.19.Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка// Математика. - 1963. - 7, № 6. - С. 99-121.20.Popov V. A., Skubachevskii A. L. On smoothness of solutions of some elliptic functional-di erential equations with degenerations// Russ. J. Math. Phys. - 2013. - 20, № 4. - С. 492-507.21.Skubachevskii A. L. The rst boundary-value problem for strongly elliptic di erential-di erence equations//j. Di er. Equ. - 1986. - 63, № 3. - С. 332-361.22.Skubachevskii A. L. Elliptic functional di erential equations and applications. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1997.