Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32593ArticlesСтатьиResearch ArticleTopological Algebras of Measurable and Locally Measurable OperatorsТопологические алгебры измеримых и локально измеримых операторовMuratovM. A.МуратовМ. А.mamuratov@gmail.comChilinV. I.ЧилинВ. И.chilin@usd.uzV. I. Vernadsky Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет им. В. И. ВернадскогоM. Ulugbek National University of UzbekistanНациональный университет Узбекистана им. М. Улугбека1512201661VOL 61, NO (2016)ТОМ 61, № (2016)11516314112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32593In this paper, we review the results on topological ∗-algebras S(M), S(M,τ), and LS(M) of measurable, τ -measurable, and locally measurable operators a liated with the von Neumann algebra M. Also we consider relations between these algebras for di erent classes of von Neumann algebras and establish the continuity of operator-valued functions with respect to local convergence in measure. We describe maximal commutative ∗-subalgebras of the algebra LS(M) as well.В работе дается обзор результатов по топологическим ∗-алгебрам S(M), S(M,τ) и LS(M) измеримых, τ -измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана M. Кроме того, рассматриваются взаимосвязи между этими алгебрами для различных классов алгебр фон Неймана, устанавливается непрерывность операторнозначных функций относительно сходимости локально по мере. Описываются также максимальные коммутативные ∗-подалгебры алгебры LS(M).1.Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана// Тр. МИАН. - 2006. - 255. - С. 41-54.2.Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана. II// Мат. заметки. - 2007. - 82, № 5. - С. 703-707.3.Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. - М.: Мир, 1982.4.Гельфанд И. М., Наймарк М. А. О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве// Мат. сб. - 1943. - 12. - С. 197-213.5.Закиров Б. С., Чилин В. И. Абстрактная характеризация EW ∗-алгебр// Функц. анализ и его прилож. - 1991. - 25, № 1. - С. 76-78.6.Закиров Б. С., Чилин В. И. Описание GB∗-алгебр, ограниченная часть которых есть W ∗ алгебра// Узбек. мат. ж. - 1991. - № 2. - С. 24-29.7.Муратов М. А., Чилин В. И. ∗-Алгебры измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана// Доповiд. НАН Укр. - 2005. - 9. - С. 28-30.8.Муратов М. А., Чилин B. И. ∗-Алгебры неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана// Зап. науч. сем. ПОМИ. - 2005. - 326. - С. 183-197.9.Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов. - Ки¨ıв: Працi Iн-т. Матем. НАН Укра¨ıни, 2007.10.Муратов М. А., Чилин В. И. Центральные расширения ∗-алгебры измеримых операторов// Доповiд. НАН Укр. - 2009. - 7. - С. 24-28.11.Наймарк М. А. Нормированные кольца. - М.: Наука, 1968.12.Рисс Ф., Секевальфи-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.13.Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.14.Сарымсаков Т. А., Аюпов Ш. А., Хаджиев Д., Чилин В. И. Упорядоченные алгебры. - Ташкент: ФАН, 1983.15.Сукочев Ф. А., Чилин В. И. Неравенство треугольника для измеримых операторов относительно порядка Харди-Литлвуда// Изв. АН Уз. ССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1988. - 4. - С. 44-50.16.Тихонов О. Е. Непрерывность операторных функций в топологиях, связанных со следом на алгебре Неймана// Изв. вузов. Сер. мат. - 1987. - 1. - С. 77-79.17.Antoine J. P., Inoue A., Trapani C. Partial ∗-algebras and their operator realizations. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.18.Ber A. F., Chilin V. I., Sukochev F. A. Continuous derivations on algebras of locally measurable operators are inner// Proc. Lond. Math. Soc. - 2014. - 109, № 3. - С. 65-89.19.Chilin V. I., Muratov M. A.Comparison of topologies on ∗-algebras of locally measurable operators// Positivity.- 2013.- 17, № 1. - С. 111-132.20.Chilin V. I., Muratov M. A. Continuity of operator-valued functions in the ∗-algebra of locally measurable operators// Methods Funct. Anal. Topology. - 2014. - 20, № 2. - С. 124-134.21.Davies E. B. A generalization of Kaplansky’s theory//j. Lond. Math. Soc. - 1972. - 4. - С. 435-436.22.Dieudonne J. Foundations of modern analysis. - New York-London: Acad. Press, 1960.23.Dixmier J. Les Algebres d’operateurs dans l’espace Hilbertien (Algebres de von Neumann). - Paris: Gauthier-Villars, 1969.24.Dixon P. G. Unboubded operator algebras// Proc. Lond. Math. Soc. - 1973. - 23, № 3. - С. 53-59.25.Fack T., Kosaki H. Generalized s-numbers of τ -measurable operators// Paci c J. Math. - 1986. - 123.- С. 269-300.26.Kadison R. V. Strong continuity of operator functions// Paci c J. Math. - 1968. - 26. - С. 121-129.27.Kaplansky I. Projections in Banach algebras// Ann. Math. - 1951. - 53. - С. 235-249.28.Kaplansky I. A theorem on rings operators// Paci c J. Math. - 1951. - 1. - С. 227-232.29.Kunce R. A. Lp Fourier transforms on locally compact unimodular groups// Trans. Am. Math. Soc. - 1958. - 89. - С. 519-540.30.Muratov M. A., Chilin V. I. ∗-Algebras of unbounded operators a liated with a von Neumann algebra//j. Math. Sci. (N. Y.) - 2007. - 140, № 3. - С. 445-451.31.Murphy G. J. C*-algebras and operator theory. - New York-London: Academic Press, Inc. , 1990.32.Murrey F. J., von Neumann J. On ring of operators// Ann. Math. - 1936. - 37. - С. 116-229.33.Murrey F. J., von Neumann J. On ring of operators. II// Trans. Am. Math. Soc. - 1937. - 41. - С. 208- 248.34.Murrey F. J., von Neumann J. On ring of operators. IV// Ann. Math. - 1943. - 44. - С. 716-808.35.Nelson E. Notes on noncommutative integration//j. Funct. Anal. - 1974. - 15. - С. 103-116.36.von Neumann J. On ring of operators. III// Ann. Math. - 1940. - 41. - С. 94-161.37.Padmanabhan A. R. Convergence in measure and related results in nite rings of operators// Trans. Am. Math. Soc. - 1967. - 128. - С. 359-388.38.Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. I. Functional Analysis. - New York: Academic Press, 1980.39.Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. - New York: Springer, 1971.40.Sankaran S. The ∗-algebra of unbounded operators//j. Lond. Math. Soc. - 1959. - 343. - С. 337-344.41.Sankaran S. Stochastic convergence for operators// Quart. J. Math. - 1964. - 2, № 15. - С. 97-102.42.Schmudgen K. Unbounded operator algebras an representation theory. - Basel: Birkhauser, 1990.43.Segal I. E. A non-commutative extension of abstract integration// Ann. Math. - 1953. - 57. - С. 401-457.44.Stinespring W. E.Integration theorems for gages and duality for unimodular groups// Trans. Am. Math. Soc. - 1959. - 90. - С. 15-56.45.Stra˘ tila˘ S., Zsido´ L. Lectures on von Neumann algebras. - Bucharest: Abacus Press, 1979.46.Takesaki M. Theory of operator algebras. I. - New York: Springer, 1979.47.Yeadon F. J. Convergence of measurable operators// Proc. Camb. Philos. Soc. - 1973. - 74. - С. 257-268.48.Yeadon F. J. Non-commutative Lp-spaces// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1975. - 77.- С. 91- 102.