Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32589ArticlesСтатьиResearch ArticleMorse-Smale Systems and Topological Structure of Supporting ManifoldsСистемы Морса-Смейла и топологическая структура несущих многообразийGrinesV. Z.ГринесВ. З.vgrines@yandex.ruZhuzhomaYe. V.ЖужомаЕ. В.zhuzhoma.ev@mail.ruPochinkaO. V.ПочинкаО. В.olga-pochinka@yandex.ruNRU HSEНИУ ВШЭNNSUННГУ1512201661VOL 61, NO (2016)ТОМ 61, № (2016)54014112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32589In this paper, we review the results describing the connection between the global dynamics of Morse-Smale systems on closed manifolds and the topology of supporting manifolds. Also we consider the results related to topological classification of Morse-Smale systems.Настоящий обзор посвящен изложению результатов, относящихся к взаимосвязи между глобальной динамикой систем Морса-Смейла на замкнутых многообразиях и топологией несущих многообразий. Мы приводим также результаты, связанные с топологической классификацией систем Морса-Смейла.1.Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.2.Андpонов А. А., Понтpягин Л. С. Грубые системы// Докл. АН СССP. - 1937. - 14, № 5. - С. 247-250.3.Аносов Д. В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны// Докл. АН СССР. - 1962. - 145, № 4. - С. 707-709.4.Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН. - 1967. - 90.5.Аpансон С. Х. Тpаектоpии на неоpиентиpуемых двумеpных многообpазиях// Мат. сб. - 1969. - 80, № 3. - С. 314-333.6.Арансон С. Х., Медведев В. С. Регулярные компоненты гомеоморфизмов n-мерной сферы// Мат. сб. - 1971. - 85. - С. 3-17.7.Афраймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1973. - 28. - С. 181-214.8.Безденежных А. Н., Гринес В. З. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий// В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения». - ГГУ: Горький, 1985. - С. 33-37.9.Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. I// В сб.: «Методы КТДУ». - Горький, 1985. - С. 22-38.10.Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. II// В сб.: «Методы КТДУ». - Горький, 1987. - С. 24-32.11.Бонатти Х., Гринес В. З., Медведев В. С., Пеку Е. О топологической классификации градиентноподобных диффеоморфизмов без гетероклинических кривых на трехмерных многообразиях// Докл. РАН. - 2001. - 377, № 2. - С. 151-155.12.Бонатти Х., Гринес В. З., Медведев В. С., Пеку Е. О диффеоморфизмах Морса-Смейла без гетероклинических пересечений на трехмерных многообразиях// Тр. МИАН. - 2002. - 236. - С. 66-78.13.Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях// Тр. МИАН. - 2005. - 250. - С. 5-53.14.Гринес В. З. Топологическая классификация диффеомоpфизмов Моpса-Смейла с конечным множеством гетеpоклинических тpаектоpий на повеpхностях// Мат. заметки. - 1993. - 54. - С. 3-17.15.Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - С. 20-35.16.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. Новые соотношения для потоков и диффеоморфизмов Морса-Смейла// Докл. РАН. - 2002. - 382, № 6. - С. 730-733.17.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. Новые соотношения для систем Морса-Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами// Мат. сб. - 2003. - 194, № 7. - С. 25-56.18.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. О диффеоморфизмах Морса-Смейла с четырьмя периодическими точками на замкнутых ориентируемых многообразиях// Мат. заметки. - 2003. - 74, № 3. - С. 369-386.19.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - С. 111-133.20.Гринес В. З., Капкаева С. X., Починка О. В. Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб. - 2014. - 205, № 10. - С. 19-46.21.Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три. - Москва-Ижевск, 2011.22.Гробман Д. М. О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. - 1959. - 128, № 5. - С. 880-881.23.Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве// Мат. сб. - 1962. - 56, № 1. - С. 77-94.24.Гуревич Е. Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей 3// Труды Средневолжского мат. об-ва. - 2003. - 5, № 1. - С. 161-165.25.Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О многообразиях размерности n, допускающих диффеоморфизмы с седловыми точками индексов 1 и n - 1// Труды Средневолжского мат. об-ва. - 2006. - 8, № 1. - С. 204- 208.26.Жужома Е. В., Медведев В. С. Системы Морса-Смейла с тремя неблуждающими точками// Докл. РАН. - 2011. - 440, №1. - С. 11-14.27.Леонтович Е. А., Майеp А. Г. О тpаектоpиях, опpеделяющих качественную стpуктуpу pазбиения сфеpы на тpаектоpии// Докл. АН СССP. - 1937. - 14, № 5. - С. 251-257.28.Леонтович Е. А., Майеp А. Г. О схеме, опpеделяющей топологическую стpуктуpу pазбиения на тpаектоpии// Докл. АН СССP. - 1955. - 103, № 4. - С. 557-560.29.Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность// Ученые записки Горьк. гос. ун-та. - 1939. - 12. - С. 215-229.30.Матвеев С. В. Классификация достаточно больших трехмерных многообразий// Усп. мат. наук. - 1997. - 52, № 5. - С. 147-174.31.Медведев В. С., Жужома Е. В. Непрерывные потоки Морса-Смейла с тремя состояниями равновесия// Мат. сб. - принято к печати.32.Митрякова Т. М., Починка О. В. О необходимых и достаточных условиях топологической сопряженности диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания. Дифференциальные уравнения и динамические системы// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - С. 198-219.33.Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях// Мат. сб. - 1998. - 189, № 8. - С. 93-140.34.Плисс В. А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе// Вестн. ЛГУ. Cер. Мат. - 1960. - 13. - С. 15-23.35.Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3многообразиях// Докл. АН СССР. - 2011. - 440, № 6. - С. 34-37.36.Пришляк А. Векторные поля Морса-Смейла без замкнутых траекторий на трехмерных многообразиях// Мат. заметки. - 2002. - 71, № 2. - С. 230-235.37.Синай Я. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 2, № 1. - С. 64-89.38.Синай Я. Г. Построение марковских разбиений// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 2, № 3. - С. 70-80.39.Смейл С. Дифференцируемые динамические системы// Усп. мат. наук. - 1970. - 25, № 1. - С. 113- 185.40.Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий// Мат. сб. - 1990. - 181, № 2. - С. 212-239.41.Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. - М.: Наука, 1989.42.Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma E.Introduction to qualitative theory of dynamical systems on closed surfaces. - Providence: Am. Math. Soc., 1996.43.Artin E., Fox R. H. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49. - С. 979-990.44.Asimov D. Round handles and non-singular Morse-Smale flows// Ann. Math. - 1975. - 102. - С. 41-54.45.Asimov D. Homotopy of non-singular vector fields to structurally stable ones// Ann. Math. - 1975. - 102. - С. 55-65.46.Batterson S. The dynamics of Morse-Smale diffeomorphisms on the torus// Trans. Am. Math. Soc. - 1979. - 256. - С. 395-403.47.Batterson S. Orientation reversing Morse-Smale diffeomorphisms on the torus// Trans. Am. Math. Soc. - 1981. - 264. - С. 29-37.48.Batterson S., Handel M., Narasimhan C. Orientation reversing Morse-Smale diffeomorphisms of S2// Invent. Math. - 1981. - 64. - С. 345-356.49.Be´guin F. Smale diffeomorphisms of surfaces: an algorithm for the conjugacy problem. - Preprint, 1999.50.Bin Yu. Behavior 0 nonsingular Morse-Smale flows on S3// Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2016. - 36, № 1. - С. 509-540.51.Blanchard P., Franks J. The dynamical complexity of orientation reversing homeomorphisms of surfaces// Invent. Math. - 1980. - 62. - С. 333-339.52.Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3// Journal of Dynamical and Control Systems. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.53.Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Three-dimensional manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves// Topology and Appl. - 2002. - 117. - С. 335-344.54.Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds// Topology. - 2004. - 43. - С. 369-391.55.Bonatti Ch., Grines V., Pochinka O. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with the chain of saddles on 3-manifolds// В сб.: «Foliations 2005». - Singapore: World Scientific, 2006. - С. 121--147.56.Bonatti Ch., Langevin R. Diffe´omorphismes de Smale des surfaces. - Socie´te´ Mathe´matique de France, 1998.57.Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms// Transactions of the American. Math. Soc. - 1971. - 154. - С. 337-397.58.Cantrell J. C., Edwards C. H. Almost locally polyhedral curves in Euclidean n-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1963. - 107. - С. 451-457.59.Cobham A. The intrinsic computational difficulty of functions// International Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science, North-Holland, Amsterdam. - 1964. - С. 24-30.60.Debrunner H., Fox R. A mildly wild imbedding of an n-frame// Duke Math. Journal. - 1960. - 27. - С. 425-429.61.Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three// Bol. Soc. Mat. Brasil. - 1975. - 2, № 6. - С. 155-183.62.Franks J. Some maps with infinitely many hyperbolic periodic points// Trans. Am. Math. Soc. - 1977. - 226. - С. 175-179.63.Franks J. The periodic structure of non-singular Morse-Smale flows// Comment. Math. Helv. - 1978. - 53. - С. 279-294.64.Franks J. M. Homology and dynamical systems. - Am. Math. Soc., 1982.65.Grines V., Gurevich E., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersection//j. Math. Sci. (N. Y.) - 2015. - 208, № 1. - С. 81-91.66.Grines V., Malyshev D., Pochinka O., Zinina S. Efficient algorithms for the recognition of topologically conjugate gradient-like diffeomorphisms// Regul. Chaotic Dyn. - 2016. - 21, No 2. - С. 189-203.67.Grines V., Medvedev T., Pochinka O., Zhuzhoma E. On heteroclinic separators of magnetic fields in electrically conducting fluids// Phys. D. - 2015. - 294. - С. 1-5.68.Gutierrez C. Structural stability for flows on the torus with a cross-cap// Trans. Am. Math. Soc. - 1978. - 241. - С. 311-320.69.Handel M. The entropy of orientation reversing homeomorphisms of surfaces// Topology. - 1982. - 21. - С. 291-296.70.Harrold O. G., Griffith H. C., Posey E. E. A characterization of tame curves in three-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1955. - 79. - С. 12-34.71.Hartman P. On the local linearization of differential equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1963. - 14, № 4. - С. 568-573.72.Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1977.73.Markley N. G. The Poincare-Bendixon theorem for the Klein bottle// Trans. Am. Math. Soc. - 1969. - 135. - С. 159-165.74.Medvedev V., Zhuzhoma E. Morse-Smale systems with few non-wandering points// Topology Appl. - 2013. - 160, № 3. - С. 498-507.75.Morgan J. W. Non-singular Morse-Smale flows on 3-dimensional manifolds// Topology. - 1979. - 18. - С. 41-53.76.Morse M. Calculus of variations in the large. - New York: Interscience Publ., 1934.77.Narasimhan C. The periodic behavior of Morse-Smale diffeomorphisms on compact surfaces// Trans. Am. Math. Soc. - 1979. - 248. - С. 145-169.78.Nikolaev I. Graphs and flows on surfaces// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1998. - 18. - С. 207-220.79.Nikolaev I., Zhuzhoma E. Flows on 2-dimensional manifolds. - Berlin: Springer, 1999.80.Palis J. On Morse-Smale dynamical systems// Topology. - 1969. - 8, № 4. - С. 385-404.81.Palis J., Smale S. Structural stability theorems// Global Analysis. Proc. Sympos. Pure Math. - 1970. - 14. - С. 223-231.82.Peixoto M. M. On structural stability// Ann. Math. - 1959. - 69. - С. 199-222.83.Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds// Topology. - 1962. - 1. - С. 101-120.84.Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds. A further remark// Topology. - 1963. - 2. - С. 179-180.85.Peixoto M. M. On a classification of flows on 2-manifolds// Proc. Symp. Dyn. Syst. Salvador. - 1973. - С. 389-492.86.Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16. - С. 167-172.87.Sasano K. Links of closed orbits of non-singular Morse-Smale flows// Proc. Am. Math. Soc. - 1983. - 88. - С. 727-734.88.Shub M. Morse-Smale diffeomorphisms are unipotent on homology// Dynamical Syst., Proc. Sympos. Univ. Bahia, Salvador, 1971. - 1973. - С. 489-491.89.Shub M., Sullivan D. Homology theory and dynamical systems// Topology. - 1975. - 4. - С. 109-132.90.Smale S. Morse inequalities for a dynamical system// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 43-49.91.Smale S. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 485-488.92.Smale S. On gradient dynamical systems// Ann. Math. - 1961. - 74. - С. 199-206.93.Smale S. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four// Ann. Math. - 1961. - 74. - С. 391-406.94.Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points// Differ. and Combinat. Topology, Sympos. Marston Morse, Princeton. - 1965. - С. 63-80.95.Wada M. Closed orbits of non-singular Morse-Smale flows on S3//j. Math. Soc. Jpn. - 1989. - 41. - С. 405-413.96.Wang X. The C∗-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1990. - 10. - С. 565-597.97.Yano K. A note on non-singular Morse-Smale flows on S3// Proc. Jpn Acad. Ser. A Math. Sci. - 1982. - 58. - С. 447-450.