Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32587ArticlesСтатьиResearch ArticleOn the Theory of Anisotropic Flat ElasticityК теории анизотропной плоской упругостиSoldatovA. P.СолдатовАлександр Павловичsoldatov48@gmail.comNational Research University "Belgorod State University"Национальный исследовательский университет «Белгородский государственный университет»1512201660VOL 60, NO (2016)ТОМ 60, № (2016)11416314112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32587For the Lame´ system from the at anisotropic theory of elasticity, we introduce generalized double-layer potentials in connection with the function-theory approach. These potentials are built both for the translation vector (the solution of the Lame´ system) and for the adjoint vector functions describing the stress tensor. The integral representation of these solutions is obtained using the potentials. As a corolary, the rst and the second boundary-value problems in various spaces (Ho¨lder, Hardy, and the class of functions just continuous in a closed domain) are reduced to the equivalent system of the Fredholm boundary equations in corresponding spaces. Note that such an approach was developed in [13, 14] for common second-order elliptic systems with constant (higher-order only) coe cients. However, due to important applications, it makes sense to consider this approach in detail directly for the Lame´ system. To illustrate these results, in the last two sections we consider the Dirichlet problem with piecewise-constant Lame´ coe cients when contact conditions are given on the boundary between two media. This problem is reduced to the equivalent system of the Fredholm boundary equations. The smoothness of kernels of the obtained integral operators is investigated in detail depending on the smoothness of the boundary contours.Для системы Ламе плоской анизотропной теории упругости введены обобщенные потенциалы двойного слоя, связанные с теоретико-функциональным подходом. Эти потенциалы построены как для вектора смещений - решения системы Ламе, так и для сопряженных вектор-функций, описывающих тензор напряжений. Получено интегральное представление этих решений через указанные потенциалы. Как следствие, первая и вторая краевые задачи в различных классах (Гельдера, Харди, класса только непрерывных в замкнутой области функций) редуцированы к эквивалентной системе граничных уравнений Фредгольма в соответствующих пространствах. Заметим, что подобный подход был развит [13, 14] для общих эллиптических систем второго порядка с постоянными (и только старшими) коэффициентами. Однако ввиду важного прикладного значения представляет интерес привести развернутое изложение непосредственно для системы Ламе. В качестве иллюстрации полученных результатов в последних двух разделах рассмотрена задача Дирихле с кусочно постоянными коэффициентами Ламе, когда на кривой раздела двух сред задаются контактные условия. Эта задача редуцирована к эквивалентной системе граничных уравнений Фредгольма. Подробно исследован характер гладкости ядер полученных интегральных операторов в зависимости от гладкости граничных контуров.1.Александров А. В., Солдатов А. П. Гpаничные свойства интегpалов типа Коши. Lp-случай// Дифф. уpавн. - 1991. - 27, № 1. - С. 3-8.2.Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1972.3.Гохберг И. Ц., Крупник Н. И. Введение в теорию одномерных сингулярных уравнений. - Кишинев: Штиинца, 1973.4.Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. - М.: Физматгиз, 1963.5.Лехницкий Г. Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.6.Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966.7.Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.8.Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. - М.: Мир, 1970.9.Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1991.10.Солдатов А. П. Метод теоpии функций в кpаевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай// Изв. АH СССР. Сеp. Мат. - 1991. - 55, № 5. - C. 1070-1100.11.Солдатов А. П. Гипераналитические функции и их приложения// Соврем. мат. и ее прилож. - 2004. - 15. - С. 142-199.12.Солдатов А. П. Пространство Харди решений эллиптических систем первого порядка// Докл. РАН. - 2007. - 416, № 1. - С. 26-30.13.Солдатов А. П. Задача Дирихле для слабо связанных эллиптических систем на плоскости// Дифф. уравн. - 2013. - 49, № 6. - С. 734-745.14.Солдатов А. П. Задача Неймана для эллиптических систем на плоскости// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 48. - С. 120-133.15.Солдатов А. П., Чернова О. В. Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка в классах Гельдера// Науч. ведом. БелГУ. - 2009. - 13, вып. 17/2. - С. 115-121.16.Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. - М.: Мир, 1974.17.Begehr H., Lin W. A mixed-contact problem in orthotropic elasticity// В сб.: «Partial dii erential equations with real analysis». - Harlow: Longman Scienti c & Technical, 1992. - С. 219-239.18.Begehr H., Lin W. A mixed-contact problem in orthotropic elasticity// В сб.: «Complex analytic methods for partial di erential equations. An introductory text». - Singapore, World Scienti c, 1994.19.Douglis A. A function-theoretical approach to elliptic systems of equations in two variables// Commun. Pure Appl. Math. - 1953. - 6. - С. 259-289.20.England A. H.Complex variable methods in elasticity. - London etc.: Wiley-Interscience, 1971.21.Gilbert R. P., Wendland W. L. Analytic, generalized, hyper-analytic function theory and an application to elasticity// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1975. - 73A. - С. 317-371.