Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3186810.22363/2413-3639-2022-68-3-522-552ArticlesСтатьиResearch ArticleModels of Self-Adjoint and Unitary Operators in Pontryagin SpacesМодели самосопряженных и унитарных операторов в пространствах ПонтрягинаStraussV. A.ШтраусВ. А.vstrauss@mail.ruUl’yanovsk State Pedagogical UniversityУльяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова08092022683Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума52255208092022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/31868

This paper represents a revised version of the lectures, delivered by the author at KROMSH-2019. These lectures are devoted to describing a few different ways of constructing a model representation for self-adjoint and unitary operators acting in Pontryagin spaces, and a comparison between them. Two of these models are based on the regularized integral Krein-Langer representation of a numerical sequence generated by the powers of a self-adjoint (in the sense of Pontryagin spaces) operator. The steps to deduce both this representation and the spectral function of the corresponding operator are given. In both models (first of which belongs to the author of this paper), the operator is realized as an operator of multiplication by an independent variable, but the space of functions in which it acts is different for each of the models. The third model, introduced by V. S. Shulman, is based on his own concept of a quasi-vector.

Статья представляет собой переработанный текст лекций, прочитанных автором на КРОМШ-2019 и посвящённых сравнению различных подходов к построению модельного представления самосопряжённых и унитарных операторов, действующих в пространствах Понтрягина. Базой для двух из этих моделей служит регуляризованное интегральное представление Крейна-Лангера числовой последовательности, порождённой степенями самосопряжённого (в смысле пространств Понтрягина) оператора. Приводится схема вывода как этого представления, так и спектральной функции соответствующего оператора. В обеих моделях (одна из которых принадлежит автору настоящей работы) оператор реализуется как оператор умножения на независимую переменную, но пространство функций, в которых он действует, для каждой из моделей своё. Третья модель, принадлежащая В.С. Шульману, использует понятие квазивектора.

Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с G-метрикой// Усп. мат. наук.- 1971.- 26, № 4.-С. 43-92.Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал.-1979.- 17.- С. 113-205.Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой.- М.: Наука, 1986.Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д. Введение в теорию пространств Понтрягина: специальный курс лекций. - Симферополь: ТНУ, 2008.Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д. Введение в теорию пространств Крейна: специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2010.Ароншайн Н. Квадратичные формы на векторных пространствах// Математика.- 1964.- 8, № 5.- C. 102-155.Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. - М.: Физматгиз, 1961.Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-М.: Наука, 1966.Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Уч. зап. МГУ. - 1951.-148.- C. 69-107.Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.Богачёв В.И. Курс лекций по действительному анализу.- М.: МГУ, 2008.Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика.- М.: Мир, 1982.Гохберг И.Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.- M.: Наука, 1965.Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. -М.: Физматгиз, 1958.Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы.- М.: Мир, 1974.Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей.-M.: ФМЛ, 1960.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.-СПб: Лань, 2009.Наймарк М.А. Нормированные кольца.- М.: Физматлит, 2010.Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1: Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977.Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979.Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики.-М.: Наука, 1982.Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.- М.: Мир, 1970.Штраус В.А. Некоторые особенности спектральной функции π-самосопряжённого оператора// В сб.: «Функциональный анализ. Теория операторов. 21».- Ульяновск: УГПИ, 1983.-С. 135-146.Штраус В.А. Модельное представление простейшего π-самосопряжённого оператора// В сб.: «Функциональный анализ. Спектральная теория. 22».- Ульяновск: УГПИ, 1984.- С. 123-133.Штраус В.А. Функциональное представление алгебры, порождённой самосопряжённым оператором в пространстве Понтрягина// Функц. анализ и его прилож.- 1986.- 20, № 1.- C. 91-92.Штраус В.А. Функциональное представление операторов, дважды перестановочных с самосопряжённым оператором в пространстве Понтрягина// Сиб. мат. ж. - 1988.- 29, № 6.-C. 176-184.Шульман В.С. Банаховы симметричные алгебры операторов в пространстве типа Π1// Мат. сб.- 1972.-89, № 2.- C. 264-279.Azizov T.Ya., Strauss V.A. Spectral decompositions for special classes of self-adjoint and normal operators on Krein spaces// В сб.: «Spectral Theory and Its Applications». -Theta, 2003.- С. 45-67.Azizov T.Ya., Strauss V.A. On a spectral decomposition of a commutative operator family in spaces with indefinite metric// Methods Funct. Anal. Topol.-2005.- 11, № 1.- С. 10-20.Bendersky A.Y., Litvinov S.N., Chilin V.I. A description of commutative symmetric operator algebras in a Pontryagin space π1// J. Operator Theory.-1997.-37.-С. 201-222.Colojoar˘a I., Foia¸s C. Theory of Generalized Spectral Operators.-New York, etc: Gordon and Breach, 1968.Holtz O., Strauss V. Classification of normal operators in spaces with indefinite scalar product of rank-2// Linear Algebra Appl. - 1996.- 241-243.- С. 455-517.Jonas P., Langer H., Textorius B. Models and unitary equivalence of cyclic selfadjoint operators in Pontrjagin spaces// В сб.: «Workshop on Operator Theory and Complex Analysis», Sapporo, Japan, June 1991.-Basel: Birkh¨auser, 1992.- С. 252-284.Kissin E., Shulman V. Representations of Krein spaces and derivations of C∗-algebras.- US: AddisonWesley Longman, 1997.Langer H. Spectraltheorie linearer Operatoren in J-ra¨umen und enige Anwendungen auf die Shar L(λ) = λ2I +λB +C// Habilitationsschrift.-Dresden: Dresden Tech. Univ., 1965.Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein space// Lecture Notes in Math.- 1982.- 948.- С. 1-46.Strauss V. A functional description for the commutative WJ∗-algebras for the Dκ+-class// В сб.: «Operator Theory and Indefinite Inner Product Spaces».- Basel: Birkh¨auser, 2006.-С. 299-335.Strauss V. Models of function type for commutative symmetric operator families in Krein spaces// Abstr. Appl. Anal. -2008.-2008.- 439781.Strauss V. On a commutative WJ∗-algebra of-class and its bicommutant// Oper. Matrices.- 2011.- 5, № 4.-С. 585-617.Strauss V. On the weakly closed algebra generated by a unitary operator in a Pontryagin space// Oper. Matrices.-2018.-12, № 3.- С. 837-853.