Рассматривается начально-краевая задача для системы из двух дифференциальных уравнений, одно из которых является обыкновенным, а другое уравнением с частными производными, связь между которыми осуществляется через интегральный функционал. При этом краевые условия содержат старшие производные по времени от искомых функций. Начальнокраевая задача моделирует поворот механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем, вокруг центра масс одного из твердых тел. Поворот осуществляется моментом внешних сил (моментом управления), приложенным к оси вращения твердого тела. Для начально-краевой задачи введено понятие обобщенного решения, доказана теорема существования и единственности обобщенного решения, корректности постановки задачи. Решены задачи оптимального управления поворотом механической системы из начального состояния в конечное в заданный момент времени, минимизируя значение управляющего момента и минимизируя функционал энергии от управляющего момента. В указанной постановке также решены задачи быстродействия при ограничениях на значение управляющего момента и на величину интеграла энергии от управляющего момента.