In this paper, we fully solve the problem of the completeness of the eigenfunctions of an ordinary 5th-order differential operator in the space of square-summable functions on the segment [0, 1] generated by the simplest differential expression \( y^{(5)} \) and two-point two-term boundary conditions \(\alpha_v y^{(v−1)}(0) + \beta_v y^{(v−1)}(1) = 0\) and \(v = \overline{1, 5}\), under the main assumption \(\alpha_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) or \(\beta_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) (in this case, without loss of generality, we can assume that all \(\alpha_v\) or all \(\beta_v\) , respectively, are equal to one). The classical methods of studying completeness, which go back to well-known articles by M. V. Keldysh, A. P. Khromov, A. A. Shkalikov, and many others, are not applicable to the operator under consideration. These methods are based on “good” estimates for the spectral parameter of the used generating functions (“classical”) for the system of eigenfunctions and associated functions. In the case of a strong irregularity of the operator under consideration, these «classical» generating functions have too large rate of grows in the spectral parameter. To solve the problem of multiple completeness, we propose a new approach that uses a special parametric solution that generalizes «classical» generating functions. The main idea of this approach is to select the parameters of this special solution to construct generating functions that are no longer «classical» with suitable estimates in terms of the spectral parameter. Such a selection for the operator under consideration turned out to be possible, although rather nontrivial, which allowed us to follow the traditional scheme of proving the completeness of the system of eigenfunctions in the space of square-summable functions on the segment [0, 1].
Полностью решена задача о полноте собственных функций обыкновенного дифференциального оператора 5-го порядка в пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0, 1], порожденного простейшим дифференциальным выражением \( y^{(5)} \) и двухточечными двучленными граничными условиями \(\alpha_v y^{(v−1)}(0) + \beta_v y^{(v−1)}(1) = 0\), \(v = \overline{1, 5}\), при основном предположении \(\alpha_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) или \(\beta_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) (в этом случае можно без уменьшения общности считать, что все \(\alpha_v\) или все \(\beta_v\), соответственно, равны единице). Классические методы исследования полноты, восходящие к известным статьям М.В. Келдыша, А.П. Хромова, А.А. Шкаликова и многих других, не применимы к рассматриваемому оператору. В основе этих методов лежат «хорошие» оценки по спектральному параметру используемых порождающих функций («классических») для системы собственных и присоединенных функций. В случае сильной нерегулярности рассматриваемого оператора эти «классические» порождающие функции имеют слишком большой рост по спектральному параметру. Для решения вопроса о кратной полноте автором данной статьи предложен новый подход, который использует специальное параметрическое решение, обобщающее «классические» порождающие функции. Основной идеей этого подхода является подбор параметров этого специального решения для построения уже не «классических» порождающих функций с подходящими оценками по спектральному параметру. Такой подбор для рассматриваемого оператора оказался возможным, хотя и весьма нетривиальным, что позволило провести традиционную схему доказательства полноты системы собственных функций в пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0, 1].