Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3007810.22363/2413-3639-2021-67-4-668-692ArticlesСтатьиResearch ArticleWeierstrass Polynomials in Estimates of Oscillatory IntegralsПолиномы Вейерштрасса в оценках осцилляторных интеграловIkromovI. A.ИкромовИсроил Акрамовичikromov1@rambler.ruSadullaevA. S.СадуллаевАзимбай Садуллаевичsadullaev@mail.ruSamarkand State University named after A. NavoiСамаркандский государственный университет им. А. НавоиSamarkand State University named after A. NavoiНациональный университет Узбекистана им. М. Улугбека30122021674Science — Technology — Education — Mathematics — MedicineНаука — технология — образование — математика — медицина66869224012022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/30078

In this paper, estimates are obtained for the Fourier transform of smooth charges (measures) concentrated on some nonconvex hypersurfaces. The summability of the maximal Randall function is proved for a wide class of nonconvex hypersurfaces. In addition, in the three-dimensional case, estimates are obtained depending on the Varchenko height. The accuracy of the obtained estimates is proved. The proof of the estimate for oscillatory integrals is based on the Weierstrass preparatory theorem.

В работе получены оценки для преобразования Фурье гладких зарядов (мер), сосредоточенных на некоторых невыпуклых гиперповерхностях. Доказана суммируемость максимальной функции Рэндола для широкого класса невыпуклых гиперповерхностей. Кроме того, в трехмерном случае получены оценки в зависимости от высоты А. Н. Варченко. Доказана точность полученных оценок. Доказательство оценки осцилляторных интегралов основывается на подготовительной теореме Вейерштрасса.

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-заде С. М. Особенности диффернцируемых отображений, ч. 1. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. - М.: Наука, 1982.Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы// Изв. АН СССР. - 1979. -43, № 5. - С. 971-1003.Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов// Функц. анализ и его прилож. - 1976. -10, № 3. - С. 13-38.Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980.Икромов И. А. Об оценках преобразования Фурье индикатора невыпуклых множеств// Докл. РАН. - 1993. -331, № 3. - С. 272-274.Икромов И. А. Об оценках преобразования Фурье индикатора невыпуклых областей// Функц. анализ и его прилож. - 1995. -29, № 3. - С. 16-24.Икромов И. А. Демпфированные осцилляторные интегралы и максимальные операторы// Мат. заметки. - 2005. -78, № 6. - С. 833-852.Икромов И. А. Суммируемость осцилляторных интегралов по параметрам и проблема об ограничении преобразования Фурье на кривых// Мат. заметки. - 2010. - 87, № 5. - С. 734-755.Карпушкин В. Н. Теорема о равномерной оценке осциллирующих интегралов с фазой, зависящей от двух переменных// Труды сем. им. И. Г. Петровского. - 1984. -10. - С. 150-169.Паламо дов В. П. Обобщенные функции и гармонический анализ// Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1991. -72. - С. 5-134.Попов Д. А. Оценки с константами для некоторых классов осциллирующих интегралов// Усп. мат. наук. - 1997. -52, № 1. - С. 77-148.Садуллаев А. С. Критерии алгебраичности аналитических множеств// Функц. анализ и его прилож. - 1972. -6, № 1. - С. 85-86.Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Ч. 1. - М.: Мир, 1986.Чахкиев М. Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой и их приложения// Автореферат дисс. д.ф.-м.н. - М.: МГУ, 2006.Bak J.-G., Oberlin D., Seeger A. Restriction of Fourier transform to curves: An endpoint estimate with affine arclength measure// ArXiv. - 2012. - 1109.1300v2 [math.CA].Duistermaat J. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unifoldings of singularities// Commun. Pure Appl. Math. - 1974. -27, № 2. - С. 207-281.Erdos¨ L’., Salmhofer M. Decay of the Fourier transform of surfaces with vanishing curvature// Math. Z. - 2007. -257, № 2. - С. 261-294.Hironaka H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I, II// Ann. Math. - 1964. - 79. - С. 109-326.Hua L.-K. On the number of solutions of Tarry’s problem// Acta Sci. Sinica. - 1952. -1, № 1. - С. 1-76.Ikromov I. A., Kempe M., Muller¨ D. Estimates for maximal functions associated with hypersurfaces in R3 and related problems of harmonic analysis// Acta Math. - 2010. - 204, № 2. - С. 151-271.Ikromov I. A., Muller¨ D. Uniform estimates for the Fourier transform of surface carried measures in R3 and an application to Fourier restriction// J. Fourier Anal. Appl. - 2011. -17, № 6. - С. 1292-1332.Ikromov I. A., Muller¨ D. Fourier restriction for hypersurfaces in three dimensions and Newton polyhedra. - Princeton-Oxford: Princeton University Press, 2016.Mokenhaupt G. Bounds in Lebesgue spaces of oscillatory integral operators// Habilitationsschrift. - Universitat Siegen, 1996.¨Phong D. H., Stein E. M., Sturm J. A. On the growth and stability of real-analytic functions// Am. J. Math. - 1999. - 121, № 3. - С. 519-554.Randol B. On the asymptotic behavior of the Fourier transform of the indicator function of a convex set// Trans. AMS. - 1970. -139. - С. 278-285.Sadullaev A. On Weierstrass polynomials// Ann. Pol. Mat. - 2019. - 123. - С. 473-479.Sadullaev A., Ikromov I. A. Oscillatory integrals and Weierstrass polynomials// Bull. Nat. Univ. Uzbekistan. Math. Nat. Sci. - 2019. - 2, № 2. - С. 125-139.Sogge C. D. Fourier integrals in classical analysis. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.Sogge C. D., Stein E. M. Averages of functions over hypersurfaces in Rn// Invent. Math. - 1985. -82, № 3. - С. 543-556.Stein E. M. Harmonic analysis: real-valued methods, orthogonality and oscillatory integrals. - Princeton: Princeton University Press, 1993.Svensson I. Estimates for the Fourier transform of the characteristic function of a convex set// Ark. Mat. - 1970. -9, № 1. - С. 11-22.Van der Corput J. G. Zur Methode der stationaren phase. I// Composito Math. - 1934. - 1. - С. 15-38.