It is well known that Luzin’s conjecture has a positive solution for one-dimensional trigonometric Fourier series, but in the multidimensional case it has not yet found its confirmation for spherical partial sums of multiple Fourier series. Historically, progress in solving Luzin’s hypothesis has been achieved by considering simpler problems. In this paper, we consider three of these problems for spherical partial sums: the principle of generalized localization, summability almost everywhere, and convergence almost everywhere of multiple Fourier series of smooth functions. A brief overview of the work in these areas is given and unsolved problems are mentioned and new problems are formulated. Moreover, at the end of the work, a new result on the convergence of spherical sums for functions from Sobolev classes is proved.
Хорошо известно, что гипотеза Лузина имеет положительное решение для одномерных тригонометрических рядов Фурье, но во многомерном случае она до сих пор не нашла своего подтверждения для сферических частичных сумм кратных рядов Фурье. Исторически прогресс в решении гипотезы Лузина был достигнут путем рассмотрения более простых проблем. В данной работе рассматриваются три из таких проблем для сферических частичных сумм: принцип обобщенной локализации, суммируемость почти всюду, почти всюду сходимость кратных рядов Фурье гладких функций. Приводится краткий обзор работ по этим направлениям и упоминаются нерешенные проблемы и формулируется новые задачи. Кроме того, в конце работы доказан новый результат о сходимости сферических сумм для функций из классов Соболева.