Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2886910.22363/2413-3639-2021-67-2-324-348ArticlesСтатьиResearch ArticleEquations Related to Stochastic Processes: Semigroup Approach and Fourier TransformУравнения, связанные со случайными процессами: полугрупповой подход и преобразование ФурьеMelnikovaI. V.МельниковаИ. В.Irina.Melnikova@urfu.ruAlekseevaU. A.АлексееваУ. А.Uliana.Alekseeva@urfu.ruBovkunV. A.БовкунВ. А.Vadim.Bovkun@urfu.ruUral Federal University named after the First President of Russia B. YeltsinУральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина15122021672Dedicated to the memory of Professor N. D. KopachevskyПосвящается памяти профессора Н. Д. Копачевского32434823102021Copyright ©; 2021, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2021, Современная математика. Фундаментальные направления2021Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/28869

The work is devoted to integro-differential equations related to stochastic processes. We study the relationship between differential equations with random perturbations - stochastic differential equations (SDEs) - and deterministic equations for the probabilistic characteristics of processes determined by random perturbations. The resulting deterministic pseudodifferential equations are investigated by semigroup methods and Fourier transform methods.

Работа посвящена интегродифференциальным уравнениям, связанным со случайными процессами. Изучается связь между дифференциальными уравнениями со случайными возмущениями - стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) - и детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик процессов, определяемых случайными возмущениями. Полученные детерминированные псевдодифференциальные уравнения исследуются полугрупповыми методами и методами преобразования Фурье.

Ануфриева У. А., Мельникова И. В. Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2005. - 14.- С. 3-156.Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. - М.: Физматлит, 2005.Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции. Вып. 2. Пространства основных и обобщённых функций. - М.: Физматгиз, 1958.Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции. Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1958.Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. II. - М.: Наука, 1973.Ито К. Вероятностные процессы. Вып. II. - М.: Иностранная литература, 1963.Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей// Усп. мат. наук. - 1938. - № 5. - C. 5-41.Мельникова И. В., Алексеева У. А. Полугрупповая классификация и классификация Гельфанда- Шилова для систем дифференциальных уравнений в частных производных// Мат. заметки. - 2018. - 104, № 6. - С. 895-911.Мельникова И. В., Бовкун В. А., Алексеева У. А. Интегродифференциальные уравнения, порожденные стохастическими задачами// Дифф. уравн. - 2021. - 57, № 3. - С. 1653-1663.Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. - М.: Наука, 1987.Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределения и анализ Фурье. - М.: Мир, 1986.Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Мир, 1987.Applebaum D. Le´vy processes and stochastic calculus. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009.Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-Valued Laplace Transform and Cauchy Problems. - Basel: Birkha¨user, 2011.Bjo¨rk T. Arbitrage theory in continuous time. - Oxford: Oxford Univ. Press, 2009.Bo¨ttcher B., Schilling R., Wang J. Le´vy matters III. Le´vy-type processes: construction, approximation and sample path properties. - Heidelberg-New York: Springer, 2013.Boyarchenko S. I., Levendorskii S. Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory. - Singapore: World Scientific, 2002.Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraits et applications а quelques problemes mixtes// J. Funct. Anal. - 1971. - 7, № 3. - С. 386-446.Dubkov A. A., Spagnolo B., Uchaikin V. V. Le´vy flight superdiffusion: an introduction// Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg.- 2008.- 18, № 9. - С. 2649-2672.Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. - New York: Springer, 1999.Gardiner С. Stochastic Methods. A handbook for the natural and social sciences. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2009.Hille E., Phillips R. S. Functional analysis and semi-groups. - Providence: Am. Math. Soc., 1957.Ito K. On a formula concerning stochastic differentials// Nagoya Math. J. - 1951. - 3. - С. 55-65.Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes. Vol. 1. - London: Imperial College Press, 2001.Kolokoltsov V. N. Markov processes, semigroups and generators. - Berlin-New York: De Gruyter, 2011.Komatsu H. Ultradistributions, I. Structure theorems and characterization// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. - 1973. - 20, № 1. - С. 25-106.Kunita H. Ito’s stochastic calculus: its surprising power for applications// Stoch. Process. Their Appl. - 2010. - 120, № 5. - С. 622-652.Melnikova I. V. Stochastic Cauchy problems in infinite dimensions. Regularized and generalized solutions. - London-New York: CRC Press, 2016.Melnikova I. V., Alekseeva U. A. Weak regularized solutions to stochastic Cauchy problems// Chaotic Model. Simul. - 2014. -№ 1. - С. 49-56.Melnikova I. V., Filinkov A. I. The Cauchy problem: Three approaches. - London-New York: Chapman & Hall/CRC, 2001.Oksendal B. Stochastic differential equations. - Berlin: Springer, 2003.Protter P. E. Stochastic integration and differential equations. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2005.Sato K. I. Basic results on Le´vy processes// В сб.: «Le´vy processes theory and applications». - Boston: Birkha¨user, 2001. - С. 3-37.Shreve S. Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models. - New York: Springer, 2004.Taira K. Boundary value problems and Markov processes. - Cham: Springer, 2020.