Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2886810.22363/2413-3639-2021-67-2-316-323ArticlesСтатьиResearch ArticleOn the Construction of a Variational Principle for a Certain Class of Differential-Difference Operator EquationsО построении вариационного принципа для некоторого класса дифференциально-разностных операторных уравненийKolesnikovaI. A.КолесниковаИ. А.kolesnikova-ia@rudn.ruPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народов15122021672Dedicated to the memory of Professor N. D. KopachevskyПосвящается памяти профессора Н. Д. Копачевского31632323102021Copyright ©; 2021, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2021, Современная математика. Фундаментальные направления2021Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/28868

In this paper, we obtain necessary and sufficient conditions for the existence of variational principles for a given first-order differential-difference operator equation with a special form of the linear operator Pλ(t) depending on t and the nonlinear operator Q. Under the corresponding conditions the functional is constructed. These conditions are obtained thanks to the well-known criterion of potentiality. Examples show how the inverse problem of the calculus of variations is constructed for given differentialdifference operators.

В данной работе получены необходимые и достаточные условия существования вариационных принципов для заданного дифференциально-разностного операторного уравнения первого порядка со специальным видом линейного оператора Pλ(t), зависящего от t, и нелинейного оператора Q. При выполнении соответствующих условий построен функционал. Данные условия получены благодаря хорошо известному критерию потенциальности. На примерах показано, как строится обратная задача вариационного исчисления для заданных дифференциально-разностных операторов.

Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. - М.: Мир, 1967.Каменский Г. А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом// Дифф. уравн. - 1970. - 69, № 8. - С. 1349-1358.Попов А. М. Условия потенциальности дифференциально-разностных уравнений// Дифф. уравн. - 1998. - 34, № 3. - С. 422-424.Савчин В. М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами// Тез. докл. XXXII научной конф. ф-та физ.-мат. и естеств. наук. - М.: РУДН, 1994. - С. 25.E` l’sgol’c L. E`. Qualitative methods in mathematical analysis. - Am. Math. Soc., 1964.Filippov V. M., Savchin V. M., Shorokhov S. G. Variational principles for nonpotential operators// J. Math. Sci. - 1994. - 68, № 3. - С. 275-398.Kolesnikova I. A., Popov A. M., Savchin V. M. On variational formulations for functional differential equations// J. Funct. Spaces Appl. - 2007. - 5, № 1. - С. 89-101.Savchin V. M. An operator approach to Birkhoff’s equation// Вестн. РУДН. Сер. Мат. - 1995. - 2, № 2. - С. 111-123.Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. - Ba¨sel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1997.