Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2886510.22363/2413-3639-2021-67-2-255-284ArticlesСтатьиResearch ArticleInvestigation of Integrodifferential Equations by Methods of Spectral TheoryИсследование интегродифференциальных уравнений методами спектральной теорииVlasovV. V.ВласовВ. В.victor.vlasov@math.msu.ruRautianN. A.РаутианН. А.nadezhda.rautian@math.msu.ruLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова15122021672Dedicated to the memory of Professor N. D. KopachevskyПосвящается памяти профессора Н. Д. Копачевского25528423102021Copyright ©; 2021, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2021, Современная математика. Фундаментальные направления2021Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/28865

This paper provides a survey of results devoted to the study of integrodifferential equations with unbounded operator coefficients in a Hilbert space. These equations are operator models of integrodifferential partial differential equations arising in numerous applications: in the theory of viscoelasticity, in the theory of heat propagation in media with memory (Gurtin-Pipkin equations), and averaging theory. The most interesting and profound results of the survey are devoted to the spectral analysis of operator functions that are symbols of the integrodifferential equations under study.

В работе приводится обзор результатов, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Указанные уравнения являются операторными моделями интегродифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в многочисленных приложениях: в теории вязкоупругости, в теории распространения тепла в средах с памятью (уравнения Гуртина-Пипкина), теории усреднения. Наиболее интересные и глубокие результаты обзора посвящены спектральному анализу операторфункций, являющихся символами изучаемых интегродифференциальных уравнений.

Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д. Эволюционные и спектральные задачи, порождаемые проблемой малых движений вязкоупругой жидкости// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1988. - 6. - С. 5-33.Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д. Операторный подход к исследованию гидродинамической модели Олдройта// Мат. заметки. - 1999. - 65, № 6. - С. 924-928.Андронова О. А., Копачевский Н. Д. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2008. - 29. - С. 11-28.Власов В. В., Медведев Д. А., Раутиан Н. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и их спектральный анализ. - М.: МГУ, 2011.Власов В. В., Перез Ортиз Р. Спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости и теплофизике// Мат. заметки. - 2015. - 98, № 4. - С. 630-634.Власов В. В., Перез Ортиз Р., Раутиан Н. А. Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, зависящими от параметра// Дифф. уравн. - 2018. - 54, № 3. - С. 369-386.Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2011. - 28.- С. 75-113.Власов В. В., Раутиан Н. А. Исследование интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2012. - 6.- С. 56-60.Власов В. В., Раутиан Н. А. Спектральный анализ и представление решений абстрактных интегродифференциальных уравнений// Докл. РАН. - 2014. - 454, № 2. - С. 141-144.Власов В. В., Раутиан Н. А. О свойствах решений интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории тепломассообмена// Тр. Моск. мат. об-ва. - 2014. - 75, № 2. - С. 219-243.Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 58. - С. 22-42.Власов В. В., Раутиан Н. А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. - М.: МАКС Пресс, 2016.Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Дифф. уравн. - 2016. - 52, № 9. - С. 1168-1177.Власов В. В., Раутиан Н. А. Исследование операторных моделей, возникающих в теории вязкоупругости// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2018. - 64, № 1. - С. 60-73.Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и представление решений интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости// Дифф. уравн. - 2019. - 55, № 4. - С. 574-587.Власов В. В., Раутиан Н. А. Спектральный анализ и представление решений интегро-дифференциальных уравнений с дробно-экспоненциальными ядрами// Тр. Моск. мат. об-ва. - 2019. - 80, № 2. - С. 197-220.Власов В. В., Раутиан Н. А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями// Дифф. уравн. - 2020. - 56, № 8. - С. 1122-1126.Власов В. В., Раутиан Н. А. Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса// Дифф. уравн. - 2021 (принято к печати).Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. C. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике// Докл. РАН. - 2010. - 434, № 1. - С. 12-15.Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. C. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2011. - 39. - С. 36-65.Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. C. Исследование операторных моделей, возникающих в задачах наследственной механики// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2012. - 45.- С. 43-61.Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Мат. сб. - 2000. - 191 - № 7. - С. 31-72.Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2003. - 23.- С. 149- 187.Закора Д. А. Модель сжимаемой жидкости Олдройта// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2016. - 61.- С. 41-66.Закора Д. А., Копачевский Н. Д. О спектральной задаче, связанной с интегро-дифференциальным уравнением второго порядка// Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. - 2004. - № 2. - С. 2-18.Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М.: Наука, 1970.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.Копачевский Н. Д. Задача Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве// Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. - 2001. - 16. - С. 139-152.Копачевский Н. Д. Вольтерровы интегродифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Специальный курс лекций. - Симферополь: «Бондаренко О. А.», 2012.Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д., Пашкова Ю. С. Дифференциально-операторные и интегро-дифференциальные уравнения в проблеме малых колебаний гидродинамических систем// Уч. зап. Симф. гос. ун-та. - 1995. - 41, № 2. - С. 96-108.Копачевский Н. Д., Семкина Е. В. Об интегро-дифференциальных уравнениях Вольтерра второго порядка, неразрешенных относительно старшей производной// Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. физ.-мат. науки. - 2013. - 26, № 1. - С. 52-79.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.Лыков А. В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса// В сб.: «Проблемы теплои массопереноса». - Минск: Наука и техника, 1976. - С. 9-82.Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. мат. ж. - 1985. - 26. - С. 118-132.Милославский А. И. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоупругости// Деп. в Укр. НИИНТИ. - Харьков, 13.07.87. - № 1229-УК87. - С. 53.Милославский А. И. О спектре неустойчивости операторного пучка// Мат. заметки. - 1991. - 49, № 4. - С. 88-94.Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977.Радзиевский Г. В. Асимптотика распределения характеристических чисел оператор-функций, аналитических в угле// Мат. сб. - 1980. - 112, № 3. - С. 396-420.Раутиан Н. А. Об ограниченности одного класса интегральных операторов дробного типа// Мат. сб. - 2009. - 200, № 12. - С. 81-106.Раутиан Н. А. О представлении решений интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве// Сб. тр. межд. конф. «Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения». - МЭСИ, 2011. - С. 116-134.Раутиан Н. А. О структуре и свойствах решений интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике// Мат. заметки. - 2011. - 90, № 3. - С. 474-477.Раутиан Н. А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями// Дифф. уравн. - 2020. - 56, № 9. - С. 1226-1244.Сандраков Г. В. Многофазные осредненные модели диффузии для задач с несколькими параметрами// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2007. - 71, № 6. - С. 119-72.Санчес Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.: Мир, 1984.Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями в близи границы// Мат. сб. - 1986. - 129, № 2. - С. 279-302.Скубачевский А. Л. Об одном классе функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Като// Алгебра и анализ. - 2018. - 30, № 2. - С. 249-273.Шкаликов А. А. Сильно демпфированные пучки операторов и разрешимость соответствующих операторно-дифференциальных уравнений// Мат. сб. - 1988. - 177, № 1. - С. 96-118.Amendola G., Fabrizio M., Golden J. M. Thermodynamics of Materials with Memory. Theory and Applications. - New York-Dordrecht-Heidelberg-London: Springer, 2012.Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media// J. Acoust. Soc. Am. - 1962. - 34.- С. 1254-1264.Dafermos C. M. Asymptotic stability in viscoelasticity// Arch. Ration. Mech. Anal. - 1970. - 37. - С. 297- 308.Davydov A. V., Tikhonov Y. A. Study of Kelvin-Voigt models arising in viscoelasticity// Differ. Equ. - 2018. - 54, № 12. - С. 1620-1635.Desch W., Miller R. K. Exponential stabilization of Volterra integrodifferential equations in Hilbert space// J. Differ. Equ. - 1987. - 70. - С. 366-389.Devis P. L. Hyperbolic integrodifferential equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1975. - 47. - С. 155-160.Devis P. L. On the hyperbolicity of the equations of the linear theory of heat conduction for materials with memory// SIAM J. Appl. Math. - 1976. - 30.- С. 75-80.Di Blasio G. Parabolic Volterra equations of convolution type// J. Integral Equ. Appl. - 1994. - 6.- С. 479-508.Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delays in the highest order derivatives// J. Math. Anal. Appl. - 1984. - 102. - С. 38-57.Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroup for linear evolution equations. - New York-Berlin- Heidelberg: Springer, 1999.Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations// SIAM J. Math. Anal. - 2011. - 43. - С. 2296-2306.Gurtin M. E., Pipkin A. C. General theory of heat conduction with finite wave speed// Arch. Ration. Mech. Anal. - 1968. - 31. - С. 113-126.Ismagilov R. S., Rautian N. A., Vlasov V. V. Examples of very unstable linear partial functional differential equations// arXiv. - 1402.4107v1.Ivanov S. A. «Wave type» spectrum of the Gurtin-Pipkin equation of the second order// arXiv. - 1002.2831.Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest// J. Math. Anal. Appl.- 2009.- 355. - С. 1-11.Ivanov S. A., Sheronova T. L. Spectrum of the heat equation with memory// arXiv. - 0912.1818v1.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Non-selfadjoint problems for viscous fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.Kopachevsky N. D., Syomkina E. V. Linear Volterra integro-differential second-order equations unresolved with respect to the highest derivative// Eurasian Math. J. - 2013. - 4, № 4. - С. 64-87.Miller R. K. Volterra integral equations in a Banach space// Funkcialaj Ekvac. - 1975. - 18. - С. 163-194.Miller R. K. An integrodifferencial equation for rigid heat conductors with memory// J. Math. Anal. - 1978. - 66. - С. 313-332.Miller R. K., Wheeler R. L. Well-posedness and stability of linear Volterra integrodifferential equations in abstract spaces// Funkcialaj Ekvac. - 1978. - 21. - С. 279-305.Munoz Rivera J. E., Naso M. G., Vegni F. M. Asymptotic behavior of the energy for a class of weakly dissipative second-order systems with memory// J. Math. Anal. Appl. - 2003. - 286. - С. 692-704.Myshkis A. D., Vlasov V. V. On an analogy between the classifications of functional differential equations and partial differential equations// Funct. Differ. Equ. - 2009. - 16, № 3. - С. 545-560.Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach// Appl. Math. Optim. - 2005. - 52. - С. 143-165.Pazy A. Semigroups of linear operators and applications of partial differential equations. - New York etc.: Springer, 1983.Perez Ortiz R., Vlasov V. V. Correct solvability of Volterra integrodifferential equations in Hilbert space// Electron. J. Qual. Theory Differ Equ. - 2016. - 31. - С. 1-17.Pruss J. On linear Volterra equations of parabolic type in Banach spaces// Trans. Am. Math. Soc. - 1987. - 301, № 2. - С. 691-721.Pruss J. Bounded solutions of Volterra equations// SIAM J. Math. Anal. - 1988. - 19, № 1. - С. 133-149.Pruss J. Evolutionary integral equations and applications. - Basel-Baston-Berlin: Birkha¨user, 1993.Rautian N. A. Well-posedness of Volterra integro-differential equations with fractional exponential kernels// В сб.: «Differential and Difference Equations with Applications». - Cham: Springer, 2020. - С. 517-533.Shapiro J. Composition Operators and Classical Function Theory. - New York: Springer, 1993.Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. - Basel: Birkha¨user, 1997.Vlasov V. V., Gavrikov A. A., Ivanov S. A., Knyaz’kov D. Yu., Samarin V. A., Shamaev A. S. Spectral properties of combined media// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2010. - 164, № 6. - С. 948-963.Vlasov V. V., Rautian N. A. Spectral analysis and representations of solutions of abstract integro-differential equations in Hilbert space// В сб.: «Concrete operators, spectral theory, operators in harmonic analysis and approximation», IWOTA 11, Sevilla, Spain, July 3-9, 2011. - Basel: Birkha¨user/Springer, 2014. - С. 517-535.Vlasov V. V., Rautian N. A. Spectral analysis of integrodifferential equations in Hilbert spaces// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2019. - 239, № 6. - С. 771-787.Vlasov V. V., Rautian N. A. A study of operator models arising in problems of hereditary mechanics// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2020. - 244, № 2. - С. 170-182.Vlasov V. V., Wu J. Solvability and spectral analysis of abstract hyperbolic equations with delay// Funct. Differ. Equ. - 2009. - 16, № 4. - С. 751-768.Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. - New York: Springer, 1996.