This work, which can be considered as a small monograph, is devoted to the study of twoand three-dimensional boundary-value problems for eigenvalues of the Laplace operator with frequently alternating type of boundary conditions. The main goal is to construct asymptotic expansions of the eigenvalues and eigenfunctions of the considered problems. Asymptotic expansions are constructed on the basis of original combinations of asymptotic analysis methods: the method of matching asymptotic expansions, the boundary layer method and the multi-scale method. We perform the analysis of the coefficients of the formally constructed asymptotic series. For strictly periodic and locally periodic alternation of the boundary conditions, the described approach allows one to construct complete asymptotic expansions of the eigenvalues and eigenfunctions. In the case of nonperiodic alternation and the averaged third boundary condition, sufficiently weak conditions on the alternation structure are obtained, under which it is possible to construct the first corrections in the asymptotics for the eigenvalues and eigenfunctions. These conditions include in consideration a wide class of different cases of nonperiodic alternation. With further, very serious weakening of the conditions on the structure of alternation, it is possible to obtain two-sided estimates for the rate of convergence of the eigenvalues of the perturbed problem. It is shown that these estimates are unimprovable in order. For the corresponding eigenfunctions, we also obtain unimprovable in order estimates for the rate of convergence.
Настоящая работа, которую уместно рассматривать как небольшую монографию, посвящена исследованию двух- и трехмерных краевых задач на собственные значения для оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Основной целью является построение асимптотических разложений собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач. Асимптотические разложения строятся на основе оригинальных комбинаций методов асимптотического анализа: метода согласования асимптотических разложений, метода пограничного слоя и метода многих масштабов. Проводится анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Для строго периодического и локально периодического чередования краевых условий описанный подход позволяет строить полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. В случае непериодического чередования и усредненного третьего краевого условия получены достаточно слабые условия на структуру чередования, при которых удается построить первые поправки в асимптотиках для собственных значений и собственных функций; указанные условия включают в рассмотрение широкий класс различных случаев непериодического чередования. При дальнейшем, весьма серьезном ослаблении условий на структуру чередования удается получить двусторонние оценки скорости сходимости собственных значений возмущенной задачи; показано, что эти оценки неулучшаемы по порядку. Для соответствующих собственных функций также получены неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости.