Computation of the volumes of polyhedra is a classical geometry problem known since ancient mathematics and preserving its importance until present time. Deriving volume formulas for 3-dimensional non-Euclidean polyhedra of a given combinatorial type is a very difficult problem. Nowadays, it is fully solved for a tetrahedron, the most simple polyhedron in the combinatorial sense. However, it is well known that for a polyhedron of a special type its volume formula becomes much simpler. This fact was noted by Lobachevsky who found the volume of the so-called ideal tetrahedron in hyperbolic space (all vertices of this tetrahedron are on the absolute).In this survey, we present main results on volumes of arbitrary non-Euclidean tetrahedra and polyhedra of special types (both tetrahedra and polyhedra of more complex combinatorial structure) in 3-dimensional spherical and hyperbolic spaces of constant curvature
Вычисление объемов многогранников является классической задачей геометрии, известной со времен античной математики и не потерявшей актуальность в настоящее время. Проблема получения формул объемов трехмерных неевклидовых многогранников заданного комбинаторного типа весьма сложна. В настоящее время она полностью решена для самого простого с комбинаторной точки зрения многогранника - тетраэдра. Однако известно, что в случае многогранника специального вида формула для его объема заметно упрощается. Этот факт заметил еще Н. И. Лобачевский, который нашел объем так называемого идеального тетраэдра в гиперболическом пространстве (все вершины данного тетраэдра находятся на абсолюте). В настоящем обзоре будут представлены основные результаты об объемах произвольных неевклидовых тетраэдров, а также многогранников специального вида (как тетраэдров, так и многогранников, имеющих более сложное комбинаторное строение) в трехмерном сферическом и гиперболическом пространствах постоянной кривизны