We consider one-dimensional Dirac operator LP,U with Birkhoff regular boundary conditions and summable potential P(x) on [0, ]. We introduce strongly and weakly regular operators. In both cases, asymptotic formulas for eigenvalues are found. In these formulas, we obtain main asymptotic terms and estimates for the second term. We specify these estimates depending on the functional class of the potential: Lp[0,] with p ∈ [1,2] and the Besov space with p ∈ [1,2] and θ ∈ (0,1/p). Additionally, we prove that our estimates are uniform on balls Then we get asymptotic formulas for normalized eigenfunctions in the strongly regular case with the same residue estimates in uniform metric on x ∈ [0,]. In the weakly regular case, the eigenvalues λ2n and λ2n+1 are asymptotically close and we obtain similar estimates for two-dimensional Riesz projectors. Next, we prove the Riesz basis property in the space (L2[0,])2 for a system of eigenfunctions and associated functions of an arbitrary strongly regular operator LP,U. In case of weak regularity, the Riesz basicity of two-dimensional subspaces is proved.
In parallel with the LP,U operator, we consider the Sturm–Liouville operator Lq,U generated by the differential -y'' + q(x)y expressionwith distribution potential q of first-order singularity (i.e., we assume that the primitive u = q(−1) belongs to L2[0, ]) and Birkhoff-regular boundary conditions. We reduce to this case , operators of more general form where and . For operator Lq,U, we get the same results on the asymptotics of eigenvalues, eigenfunctions, and basicity as for operator LP,U .
Then, for the Dirac operator LP,U, we prove that the Riesz basis constant is uniform over the balls for p>1 or θ>0. The problem of conditional basicity is naturally generalized to the problem
of equiconvergence of spectral decompositions in various metrics. We prove the result on equiconvergence by varying three indices: (decomposable function), (potential), and in (equiconvergence of spectral decompositions in the corresponding norm). In conclusion, we prove theorems on conditional and unconditional basicity of the system of eigenfunctions and associated functions of operator LP,U in the spaces , and in various Besov spaces .
Мы рассматриваем одномерный оператор Дирака LP,U. Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу, а потенциал P(x) - суммируемым на [0, ]. Вводятся понятия сильно и слабо регулярного оператора. В обоих случаях найдены асимптотические формулы для собственных значений. В этих формулах мы выписываем главные асимптотические члены и оцениваем остатки, которые специфицируем в зависимости от функционального класса потенциала: Lp[0,], где p ∈ [1, 2], и пространства Бесова , где p ∈ [1, 2], а θ ∈ (0, 1/p). Дополнительно мы доказываем равномерность наших оценок по шарам . Затем мы получаем асимптотические формулы длянормированных собственных функций в сильно регулярном случае с такими же оценками остатковв равномерной на [0,] метрике. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны, и мы проводим аналогичные оценки для соответствующих двумерных спектральных проекторов. Далее мы доказываем базисность Рисса в пространстве (L2[0,])2 системы собственных и присоединенных функций произвольного сильно регулярного оператора LP,U. В слабо регулярном случае доказана базисность Рисса двумерных подпространств.
Параллельно с оператором LP,U мы рассматриваем оператор Штурма-Лиувилля Lq,U , порожденный дифференциальным выражением -y'' + q(x)y с потенциалом q первого порядка сингулярности (т. е. предполагаем, что первообразная u = q(-1) лежит в L2[0, ]) и регулярными по Биркгофукраевыми условиями. С помощью подобия мы сводим к этому случаю операторы более общего вида , где и . Для оператора Lq,U получаем такие же результаты об асимптотике собственных значений, собственных функций, результаты о базисности, как и для LP,U.
Затем для оператора Дирака LP,U мы доказываем равномерность базисности Рисса по шарам при p>1 или θ>0. Задача об условной базисности естественным образом обобщается до задачи о равносходимости спектральных разложений в различных метриках. Мы доказываем результат о равносходимости, варьируя три индекса: (раскладываемая функция), (потенциал) и , в (равносходимость спектральных разложений посоответствующей норме). В завершение мы доказываем теоремы об условной и безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций оператора LP,U в пространствах , и в различных пространствах Бесова .