Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2443110.22363/2413-3639-2020-66-2-335-371New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Spectral and Evolutional Problems Generated by a Sesquilinear FormО спектральных и эволюционных задачах, порожденных полуторалинейной формойYakubovaA. R.ЯкубоваА. Р.alika.yakubova.1993@mail.ruV. I. Vernadskii Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет им. В. И. Вернадского15122020662Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума33537125082020Copyright ©; 2020, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2020, Современная математика. Фундаментальные направления2020Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/24431

On the base of boundary-value, spectral and initial-boundary value problems studied earlier for the case of single domain, we consider corresponding problems generated by sesquilinear form for two domains. Arising operator pencils with corresponding operator coefficients acting in a Hilbert space and depending on two parameters are studied in detail. In the perturbed and unperturbed cases, we consider two situations when one of the parameters is spectral and the other is fixed. In this paper, we use the superposition principle that allow us to present the solution of the original problem as a sum of solutions of auxiliary boundary-value problems containing inhomogeneity either in the equation or in one of the boundary conditions. The necessary and sufficient conditions for the correct solvability of boundary-value problems on given time interval are obtained. The theorems on properties of the spectrum and on the completeness and basicity of the system of root elements are proved.

На базе рассмотренных ранее краевых, спектральных и начально-краевых задач в случае одной области изучаются соответствующие задачи, порожденные полуторалинейной формой, для двух областей. Подробно изучены возникшие операторные пучки с соответствующими операторными коэффициентами, действующие в гильбертовом пространстве и зависящие от двух параметров. В возмущенном и в невозмущенном случаях рассматриваются оба возможных варианта, когда один из параметров спектральный, а другой фиксированный. В исследовании использован принцип суперпозиции, позволяющий представить решение исходной проблемы в виде суммы решений вспомогательных краевых задач, содержащих неоднородность либо в уравнении, либо в одном из краевых условий. Получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости краевых задач на произвольном промежутке времени. Доказаны теоремы о свойствах спектра, а также о полноте и базисности системы корневых элементов.

Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.: МЦМНО, 2013.Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и ее приложения: специальный курс. - Симферополь: ФЛП «Бондаренко О. А.», 2011.Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д., Старков П. А. Многокомпонентнные задачи сопряжения и вспомогательные абстрактные краевые задачи// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2009. - 34. - С. 5-44.Вулис И. Л., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика вырождающейся задачи Стеклова// Вестн. ЛГУ. - 1973. - 19. - С. 148-150.Горбачук В. И. Диссипативные граничные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений// В сб.: «Функциональные и численные методы математической физики». - Киев: Наукова думка, 1998. - С. 60-63.Гохберг И. Ц., Крейн M. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965.Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и задача Стокса// Изв. вузов. Сев.-Кавказ рег. Естеств. науки. Мат. и мех. сплош. среды. - 2004. - С. 137-141.Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложениях к задаче Стокса// Тавр. вестн. информ. и мат. - 2004. - 2.- С. 52-80.Копачевский Н. Д. Операторные методы математической физики: специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2008.Копачевский Н. Д. Спектральная теория операторных пучков: специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2009.Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и ее приложениях// Спектр. и эволюц. задачи. - 2011. - 21, № 1. - С. 2-39.Копачевский Н. Д. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве. - Симферополь: ФЛП «Бондаренко О. А.», 2012.Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 57.- С. 71-107.Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2016.Копачевский Н. Д., Крейн С. Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи// Укр. мат. вестн. - 2004. - 1, № 1. - С. 69-97.Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.Копачевский Н. Д., Радомирская К. А. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения и их приложения// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2016. - 61.- С. 67-102.Копачевский Н. Д., Якубова А. Р. О краевых, спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейными формами// Тр. XXIV Межд. конф. «Математика. Экономика. Образование»; IX Межд. симп. «Ряды Фурье и их прилож.»; Межд. конф. по стох. мет. - Ростов-на-Дону: Фонд науки и образования, 2016. - С. 57-63.Копачевский Н. Д., Якубова А. Р. О некоторых спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейными формами// Сб. тезисов межд. конф. «XXVII Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам», Батилиман (Ласпи), Россия, 17-29 сент. 2016. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2016. - С. 84-85.Копачевский Н. Д., Якубова А. Р. О некоторых задачах, порожденных полуторалинейной формой// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2017. - 63, № 2. - С. 278-315.Крейн С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде// Докл. АН СССР. - 1964. - 159, № 2. - С. 262- 265.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - M.: Наука, 1967.Крейн С. Г., Лаптев Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 1, № 2. - С. 40-50.Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - M.: Наука, 1970.Лионс Ж.-Л., Манженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - M.: Мир, 1971.Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. - Кишинев: Штиинца, 1986.Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спектральные асимптотики// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1982. - 45. - С. 133-1381.Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спектральные асимптотики для пучков Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123, № 3. - С. 391-406.Маркус А. С., Мацаев В. И. О базисности некоторой части собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка// Мат. сб. - 1987. - 133, № 3. - С. 293-313.Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. - M.-Л.: Гостехиздат, 1952.Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - M.: Наука, 1970.Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. - M.: Мир, 1977.Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1944. - 8, № 6. - С. 243-280.Радомирская К. А. Спектральные и начально-краевые задачи сопряжения// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2017. - 63, № 2. - С. 316-339.Старков П. А. Операторный подход к задачам сопряжения// Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Мат. Мех. Инфoрм. Kиберн. - 2002. - 15, № 1. - С. 58-62.Старков П. А. Случай общего положения для операторного пучка, возникающего при исследовании задач сопряжения// Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Мат. Мех. Инфoрм. Kиберн. - 2002. - 15, № 2. - С. 82-88.Agranovich M. S. Remarks on potential and Besov spaces in a Lipschitz domain and on Whitney arrays on its boundary// Russ. J. Math. Phys. - 2008. - 15, № 2. - С. 146-155.Agranovich M. S., Katsenelenbaum B. Z., Sivov A. N., Voitovich N. N. Generalized Method of Eigenoscillations in Diffraction Theory. - Berlin-Toronto: Wiley-VCH, 1999.Chueshov I., Eller M., Lasieska I. Finite dimensionally of the attractor for a semilinear wave equation with nonlinear boundary dissipation// Commun. Part. Differ. Equ. - 2004. - 29, № 11-12. - С. 1847-1876.Gagliardo E. Caratterizazioni delle trace sullo frontiera relative ad alcune classi de funzioni n variabili// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 1957. - 27. - C. 284-305.McLean W. Strongly elliptic systems and boundary integral equations. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000.