We consider a second-order nonlinear degenerate parabolic equation in the case when the flux vector and the nonstrictly increasing diffusion function are merely continuous. In the case of zero diffusion, this equation degenerates into a first order quasilinear equation (conservation law). It is known that in the general case under consideration an entropy solution (in the sense of Kruzhkov-Carrillo) of the Cauchy problem can be non-unique. Therefore, it is important to study special entropy solutions of the Cauchy problem and to find additional conditions on the input data of the problem that are sufficient for uniqueness. In this paper, we obtain some new results in this direction. Namely, the existence of the largest and the smallest entropy solutions of the Cauchy problem is proved. With the help of this result, the uniqueness of the entropy solution with periodic initial data is established. More generally, the comparison principle is proved for entropy suband super-solutions, in the case when at least one of the initial functions is periodic. The obtained results are generalization of the results known for conservation laws to the parabolic case.
Рассматривается нелинейное вырождающееся параболического уравнение второго порядка в случае, когда вектор потока и нестрого возрастающая функция диффузии лишь непрерывны. При нулевой диффузии это уравнение вырождается в квазилинейное уравнение первого порядка (закон сохранения). Известно, что в рассматриваемом общем случае энтропийное решение (в смысле Кружкова-Карильо) задачи Коши может быть неединственно. Поэтому актуально исследование специальных энтропийных решений задачи Коши и нахождение дополнительных условий на входные данные задачи, достаточных для единственности. В работе получен ряд новых результатов в этом направлении. Именно, доказано существование наибольшего и наименьшего энтропийного решения задачи Коши. С помощью этого результата установлена единственность энтропийного решения с периодическими начальными данными. Более обще, доказан принцип сравнения для энтропийных суби суперрешений в случае, когда хотя бы одна из начальных функций является периодической. Полученные результаты обобщают на параболический случай результаты, известные для законов сохранения.