We study the stabilization of solutions of the Cauchy problem for second-order parabolic equations depending on the behavior of the lower-order coefficients of equations at the infinity and on the growth rate of initial functions. We also consider the stabilization of solution of the first boundary-value problem for a parabolic equation without lower-order coefficients depending on the domain Q where the initial function is defined for t =0.
In the first chapter, we study sufficient conditions for uniform in x on a compact K ⊂RN stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem with divergent elliptic operator and coefficients independent of t and depending only on x. We consider classes of initial functions:
- bounded in RN,
- with power growth rate at the infinity in RN,
- with exponential order at the infinity.
Using examples, we show that sufficient conditions are sharp and, moreover, do not allow the uniform in RN stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem.
In the second chapter, we study the Cauchy problem with elliptic nondivergent operator and coefficients depending on x and t. In different classes of growing initial functions we obtain exact sufficient conditions for stabilization of solutions of the corresponding Cauchy problem uniformly in x on any compact K in RN. We consider examples proving the sharpness of these conditions.
In the third chapter, for the solution of the first boundary-value problem without lower-order terms, we obtain necessary and sufficient conditions of uniform in x on any compact in Q stabilization to zero in terms of the domain RN \ Q where Q is the definitional domain of the initial function for t =0. We establish the power estimate for the rate of stabilization of the solution of the boundary-value problem with bounded initial function in the case where RN \ Q is a cone for t =0.
В работе изучаются вопросы стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка, связанные с поведением на бесконечности младших коэффициентов уравнений и с ростом начальных функций. Изучаются также вопросы стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения без младших коэффициентов в зависимости от области Q задания начальной функции при t =0.
В первой главе изучены точные достаточные условия стабилизации к нулю равномерно по x на компакте K в RN решения задачи Коши с дивергентным эллиптическим оператором и коэффициентами, не зависящими от t и зависящими только от x. Изучены классы начальных функций:
- ограниченных в RN,
- имеющих степенной рост на бесконечности в RN,
- имеющих экспоненциальный порядок роста на бесконечности.
На примерах показано, что достаточные условия являются точными и, кроме того, не допускают равномерной в RN стабилизации к нулю решения задачи Коши.
Во второй главе изучается задача Коши с эллиптическим недивергентным оператором с коэффициентами, зависящими от x и t. Получены точные достаточные условия в различных классах растущих начальных функций, которые гарантируют стабилизацию решений соответствующей задачи Коши равномерно по x на каждом компакте K в RN. Приведены примеры, показывающие точность формулируемых условий.
В третьей главе получены необходимые и достаточные условия на область RN \Q, где Q — область задания начальной функции при t =0, при выполнении которых решение первой краевой задачи без младших членов стабилизируется к нулю равномерно по x на любом компакте в Q. Установлена степенная оценка скорости стабилизации решения краевой задачи с ограниченной начальной функцией, когда RN \ Q при t =0 является конусом.