Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2305810.22363/2413-3639-2019-65-4-683-699New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Initial-Boundary Value Problem on Semiaxis for Generalized Kawahara EquationО начально-краевой задаче на полуоси для обобщенного уравнения КавахарыFaminskiiA. V.ФаминскийА. В.afaminskii@sci.pfu.edu.ruMartynovE. V.МартыновЕ. В.e.martynov@inbox.ruPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народов15122019654Proceedings of the S.M. Nikolskii Mathematical Institute of RUDN UniversityТруды Математического института им. С.М. Никольского РУДН68369902032020Copyright ©; 2020, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2020, Современная математика. Фундаментальные направления2020Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/23058

In this paper, we consider initial-boundary value problem on semiaxis for generalized Kawahara equation with higher-order nonlinearity. We obtain the result on existence and uniqueness of the global solution. Also, if the equation contains the absorbing term vanishing at infinity, we prove that the solution decays at large time values.

В статье рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары с нелинейностью высокого порядка. Получен результат о существовании и единственности глобального решения. Также в случае наличия в уравнении абсорбирующего слагаемого, исчезающего на бесконечности, устанавливается затухание решения при больших временах.

Ильичев А.Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией// Тр. МИАН. - 1989. -186. - С. 222-226.Кувшинов Р.В., Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары// Дифф. уравн. - 2009. -45, № 3. - C. 391-402.Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом// Прикл. мат. мех. - 1988. -52, № 2. - C. 230-234.Наумкин П.И. Оценки убывания решений задачи Коши для модифицированного уравнения Кавахары// Мат. сб. - 2019. -210, № 5. - C. 72-108.Опритова М.А., Фаминский А.В. О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары// Укр. мат. вiсн. - 2014. -11, № 3. - C. 312-339.Опритова М.А., Фаминский А.В. Об убывании при больших временах решений начально-краевой задачи на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары// Вестн. Тамб. гос. ун-та. - 2015. -20, № 5. - C. 1331-1337.Сангаре К. Смешанная задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в пространстве бесконечно дифференцируемых экспоненциально убывающих функций// Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Сер. мат. - 2003. -10, № 1. - C. 91-107.Сангаре К., Фаминский А.В. Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары// Мат. заметки. - 2009. -85, № 1. - C. 98-109.Шананин Н.А. О частичной квазианалитичности обобщенных решений слабо нелинейных дифференциальных уравнений со взвешенными производными// Мат. заметки. - 2000. -68, № 4. - C. 608-619.Araruna F.D., Capisrano-Filho R.A., Doronin G.G. Energy decay for the modified Kawahara equation posed in a bounded domain// J. Math. Anal. Appl. - 2012. -385, № 2. - C. 743-756.Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Faminskii A., Natali F. Decay of solutions to damped Korteweg-de Vries equation// Appl. Math. Optim. - 2012. -65. - C. 221-251.Cavalcanti M., Kwak Ch. The initial-boundary value problem for the Kawahara equation on the half-line// ArXiv. - 2018. - 180505229v2.Chen W., Guo Z. Global well-posedness and I-method for the fifth-order Korteweg-de Vries equation// J. Anal. Math. - 2011. -114, № 1. - C. 121-156.Doronin G.G., Larkin N.A. Quarter-plane problem for the Kawahara equation// Pac. J. Appl. Math. - 2008. -1, № 3. - C. 151-176.Doronin G.G., Natali F. Exponential decay for a locally damped fifth-order equation posed on a line// Nonlinear Anal., Real World Appl. - 2016. -30. - C. 59-72.Faminskii A.V., Larkin N.A. Initial-boundary value problems for quasilinear dispersive equations posed on a bounded interval// Electron. J. Differ. Equ. - 2010. - № 1. - C. 1-20.Faminskii A.V., Martynov E.V. Large-time decay of solutions to the damped Kawahara equation posed on a half-line// В сб.: «Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics». - Принято к печати.Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media// J. Phys. Soc. Jpn. - 1972. -33, № 1. - C. 260-264.Kichenassamy S., Olver P.J. Existence and nonexistence of solitary wave solutions to higher-order model evolution equations// SIAM J. Math. Anal. - 1992. -23, № 5. - C. 1141-1166.Larkin N.A., Simoes M. The Kawahara equation on bounded intervals and on a half-line// Nonlinear Anal. - 2015. -127. - C. 397-412.Linares F., Pazoto A.F. Asymptotic behavior of the Korteweg-de Vries equation posed in a quarter plane// J. Differ. Equ. - 2009. -246. - C. 1342-1353.Pazoto A.F., Rosier R. Uniform stabilization in weighted Sobolev spaces for the KdV equation posed on the half-line// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. - 2010. -14. - C. 1511-1535.Tao S.P., Cui S.B. Local and global existence of solutions to initial value problems of modified nonlinear Kawahara equation// Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). - 2005. -21, № 5. - C. 1035-1044.Vasconcellos C.F., da Silva P.N. Stabilization of the Kawahara equation with localized damping// ESAIM Control. Optim. Calc. Var. - 2011. -17. - C. 102-116.