Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2305410.22363/2413-3639-2019-65-4-623-634New ResultsНовые результатыResearch ArticleApplication of Contemporary Proof of the Sforza Formula to Computation of Volumes of Hyperbolic Tetrahedra of Special KindО применении современного доказательства формулы Сфорца к вычислению объемов гиперболических тетраэдров специального видаKrasnovV. A.КрасновВ. А.krasnov_va@rudn.universityPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народов15122019654Proceedings of the S.M. Nikolskii Mathematical Institute of RUDN UniversityТруды Математического института им. С.М. Никольского РУДН62363402032020Copyright ©; 2020, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2020, Современная математика. Фундаментальные направления2020Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/23054

In this paper, we use the contemporary proof (by Abrosimov and Mednykh) of the Sforza formula for volume of an arbitrary non-Euclidean tetrahedron to derive new formulas that express volumes of hyperbolic tetrahedra of special kind (orthoschemes and tetrahedra with the symmetry group S 4) via dihedral angles.

В настоящей работе мы, используя современное доказательство формулы Сфорца объема произвольного неевклидова тетраэдра, предложенное Н.В. Абросимовым и А.Д. Медных, выведем новые формулы, выражающие объемы гиперболических тетраэдров специального вида (ортосхемы и тетраэдры с группой симметрии S 4) через двугранные углы.

Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН «5-100».Абросимов Н.В., Выонг Хыу Б. Объем гиперболического тетраэдра с группой симметрий S4// Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН. - 2017. -23, № 4. - С. 7-17.Винберг Э.Б. Объемы неевклидовых многогранников// Усп. мат. наук. - 1993. -48, № 2. - С. 17-46.Лобачевский Н.И. Воображаемая геометрия// В сб.: «Полное собр. соч. Т. 3». - M.-Л., 1949.Abrosimov N.V., Mednykh A.D. Volumes of polytopes in spaces of constant curvature// Rigidity and Symmetry. - 2014. -70. - С. 1-26.Bolyai J. Appendix. The theory of space// В сб.: «Janos Bolyai». - Budapest, 1987.Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra// Discrete Comput. Geom. - 1999. - 22. - С. 347-366.Derevnin D.A., Mednykh A.D. A formula for the volume of hyperbolic tetrahedron// Russ. Math. Surv. - 2005. -60, № 2. - С. 346-348.Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra// Math. Ann. - 1989. -285. - С. 541-569.Kneser H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie// Deutsche Math. - 1936. -1. - С. 337- 340.Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years// Bull. Am. Math. Soc. - 1982. -6, № 1. - С. 307- 332.Murakami J. The volume formulas for a spherical tetrahedron// Arxiv. - 2011. - 1011.2584v4.Murakami J., Ushijima A. A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths// J. Geom. - 2005. -83, № 1-2. - С. 153-163.Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron// Comm. Anal. Geom. - 2005. -13. - С. 379-400.Schlafli L.¨ Theorie der vielfachen Kontinuitat// В сб.: «Gesammelte mathematische Abhandlungen». -¨ Basel: Birkhauser, 1950.¨Sforza G. Spazi metrico-proiettivi// Ric. Esten. Different. Ser. - 1906. -8, № 3. - С. 3-66.Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra// Non-Euclid. Geom. - 2006. - 581. - С. 249-265.