Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2240710.22363/2413-3639-2017-63-4-689-702New ResultsНовые результатыResearch ArticleThe Calderon-Zygmund Operator and Its Relation to Asymptotic Estimates for Ordinary Differential OperatorsОператор типа Кальдерона-Зигмунда и его связь с асимптотическими оценками для обыкновенных дифференциальных операторовSavchukA MСавчукА Мartem_savchuk@mail.ruLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова15122017634Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения68970206122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22407We consider the problem of estimating of expressions of the kind Υ(λ)=supx∈[0,1]∣∣∫x0f(t)eiλtdt∣∣. In particular, for the case f∈Lp[0,1], p∈(1,2], we prove the estimate ∥Υ(λ)∥Lq(R)≤C∥f∥Lp for any q>p′, where 1/p+1/p′=1. The same estimate is proved for the space Lq(dμ), where dμ is an arbitrary Carleson measure in the upper half-plane C+. Also, we estimate more complex expressions of the kind Υ(λ) arising in study of asymptotics of the fundamental system of solutions for systems of the kind y′=By+A(x)y+C(x,λ)y with dimension n as |λ|→∞ in suitable sectors of the complex plane.Изучается задача об оценке выражений вида Υ(λ)=supx∈[0,1]∣∣∫x0f(t)eiλtdt∣∣. В частности, для случая f∈Lp[0,1], p∈(1,2], доказана оценка ∥Υ(λ)∥Lq(R)≤C∥f∥Lp для любого q>p′, где 1/p+1/p′=1. Такая же оценка получена для пространства Lq(dμ), где dμ - произвольная мера Карлесона в верхней полуплоскости C+. Кроме того, проведены оценки более сложных выражений типа Υ(λ), возникающих при изучении асимптотики фундаментальной системы решений систем вида y′=By+A(x)y+C(x,λ)y размера n при |λ|→∞ в подходящих секторах комплексной плоскости.1.Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1984.2.Мирзоев К. А., Шкаликов А. А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами - распределениями// Мат. заметки. - 2016. - 99, № 5. - С. 788-793.3.Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Тр. Моск. мат. об-ва. - 2003. - 64. - С. 159-219.4.Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Мир, 1973.5.Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980.6.Шкаликов А. А. Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5 (431). - С. 113-174.7.Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear diferential equations containing a parameter// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9. - С. 21-231.8.Grafakos L. Classical Fourier analysis. - Springer Science+Business Media, LLC, 2008.9.Grafakos L. Modern Fourier analysis. - Springer Science+Business Media, LLC, 2009.10.Meyer Y., Coifman R. Wavelets Calderon-Zygmund and multilinear operators. - Cambridge Univ. Press, 1997.11.Rykhlov V. S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order// Result. Math. - 1999. - 36. - С. 342-353.12.Savchuk A. M., Shkalikov A. A. The Dirac operator with complex-valued summable potential// Math. Notes. - 2014. - 96, № 5. - С. 3-36.13.Savchuk A. M., Shkalikov A. A. Asymptotic formulas for fundamental system of solutions of high order ordinary differential equations with coefficients-distributions// arXiv:1704.02736, 04/2017.14.Tamarkin J. D. On some general problems of the theory of ordinary linear differential operators and on expansion of arbitrary functions into series. - Petrograd, 1917.