Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2240410.22363/2413-3639-2017-63-4-615-626New ResultsНовые результатыResearch ArticleG˚arding Cones and Bellman Equations in the Theory of Hessian Operators and EquationsКонусы Гординга и уравнения Беллмана в теории гессиановских операторов и уравненийIvochkinaN MИвочкинаН Мninaiv@NI1570.spb.eduFilimonenkovaN VФилимоненковаН Вnf33@yandex.ruSaint Petersburg State UniversityСанкт-Петербургский государственный университетPeter the Great St. Petersburg Polytechnic UniversityСанкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого15122017634Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения61562606122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22404In this work, we continue investigation of algebraic properties of G˚arding cones in the space of symmetric matrices. Based on this theory, we propose a new approach to study of fully nonlinear differential operators and second-order partial differential equations. We prove new-type comparison theorems for evolution Hessian operators and establish a relation between Hessian and Bellman equations.В работе продолжено изучение алгебраических свойств конусов Гординга в пространстве симметричных матриц. На этой базе намечен новый подход к исследованию полностью нелинейных дифференциальных операторов и уравнений в частных производных второго порядка. Найдены теоремы сравнения нового типа для эволюционных гессиановских операторов, а также установлена связь гессиановских уравнений с уравнениями Беллмана.1.Ивочкина Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1983. - 22. - С. 265-275.2.Ивочкина Н. М. Решение задачи Дирихле для некоторых уравнений типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1985. - 128. - С. 403-415.3.Ивочкина Н. М. От конусов Гординга к p-выпуклым гиперповерхностям// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2012. - 45. - С. 94-104.4.Ивочкина Н. М., Прокофьева С. И., Якунина Г. В. Конусы Гординга в современной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка// Проблемы мат. анализа. - 2012. - 64.- С. 63-80.5.Ивочкина Н. М., Филимоненкова Н. В. О новых структурах в теории полностью нелинейных уравнений// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 58. - С. 82-95.6.Крылов Н. В. Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1983. - 47, № 1. - С. 75-108.7.Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - М.: Наука, 1985.8.Крылов Н. В. О первой краевой задаче для нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений// Изв. АН СССР. - 1987. - 51, № 2. - С. 242-269.9.Погорелов А. В. Многомерная проблема Минковского. - М.: Наука, 1975.10.Сафонов М. В. Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1983. - 12. - С. 272-287.11.Сафонов М. В. О гладкости вблизи границы решений эллиптических уравнений Беллмана// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1985. - 17. - С. 150-154.12.Филимоненкова Н. В., Бакусов П. А. Гиперболические многочлены и конусы Гординга// Мат. просвещ. Третья сер. - 2016. - 20. - С. 143-166.13.Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III. Functions of the eigenvalues of the Hessian// Acta Math. - 1985. - 155. - С. 261-301.14.Evans L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations// Commun. Pure Appl. Math. - 1982. - 25. - С. 333-363.15.G˚arding L. An inequality for hyperbolic polynomials// J. Math. Mech. - 1959. - 8, № 2. - С. 957-965.16.Ivochkina N. M. On classic solvability of the m-Hessian evolution equation// Am. Math. Soc. Transl. - 2010. - 229. - С. 119-129.17.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On the backgrounds of the theory of m-Hessian equations// Commun. Pure Appl. Anal. - 2013. - 12, № 4. - С. 1687-1703.18.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On algebraic and geometric conditions in the theory of Hessian equations// J. Fixed Point Theory Appl. - 2015. - 16, № 1. - С. 11-25.19.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. Attractors of m-Hessian evolutions// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2015. - 207, № 2. - С. 226-235.20.Krylov N. V. On general notion of fully nonlinear second order elliptic equation// Trans. Am. Math. Soc. - 1995. - 347, № 3. - С. 857-895.21.Lin M., Trudinger N. S. On some inequalities for elementary symmetric functions// Bull. Aust. Math. Soc. - 1994. - 50. - С. 317-326.22.Nazarov A. I., Uraltseva N. N. Convex-monotone hulls and an estimate of the maximum of the solution of a parabolic equation// J. Soviet Math. - 1987. - 37. - С. 851-859.23.Trudinger N. S. The Dirichlet problem for the prescribed curvature equations// Arch. Ration. Mech. Anal.- 1990.- 111. - С. 153-179.24.Trudinger N. S. On the Dirichlet problem for Hessian equations// Acta Math. - 1995. - 175. - С. 151- 164.25.Urbas Jh. I. Nonlinear oblique boundary value problems for Hessian equations in two dimensions// Ann. Inst. H. Poincare´ Anal. Non Line´aire - 1995. - 12. - С. 507-575.