Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2239810.22363/2413-3639-2017-63-1-1-189New ResultsНовые результатыResearch ArticleSingular Integral Operators and Elliptic Boundary-Value Problems. IСингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. ISoldatovAlexandre PСолдатовАлександр Павлович

Department of Differential Equations

кафедра дифференциальных уравнений

soldatov@bsu.edu.ruNational Research University “Belgorod State University”Национальный исследовательский университет «Белгородский государственный университет»15122017631Functional AnalysisФункциональный анализ118906122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22398

The book consists of three Parts I-III and Part I is presented here. In this book, we develop a new approach mainly based on the author’s papers. Many results are published here for the first time. Chapter 1 is introductory. The necessary background from functional analysis is given there for completeness. In this book, we mostly use weighted Ho¨lder spaces, and they are considered in Ch. 2. Chapter 3 plays the main role: in weighted Ho¨lder spaces we consider there estimates of integral operators with homogeneous difference kernels, which cover potential-type integrals and singular integrals as well as Cauchy-type integrals and double layer potentials. In Ch. 4, analogous estimates are established in weighted Lebesgue spaces. Integrals with homogeneous difference kernels will play an important role in Part III of the monograph, which will be devoted to elliptic boundary-value problems. They naturally arise in integral representations of solutions of first-order elliptic systems in terms of fundamental matrices or their parametrixes. Investigation of boundary-value problems for second-order and higher-order elliptic equations or systems is reduced to first-order elliptic systems.

Книга состоит из трех частей I-III, первая из которых представлена в настоящем томе. Данная книга отличается принятым новым подходом и в значительной степени основана на работах автора. Многие результаты публикуются впервые. Глава 1 носит вводный характер. Чтобы сделать изложение по возможности замкнутым, в ней приведены необходимые предварительные сведения функционального анализа. Рассмотрения в последующих главах в основном ведутся в рамках пространств Гельдера с весом, которым посвящена глава 2. Особое значение имеет глава 3, где приведены необходимые оценки интегральных операторов в весовых гельдеровых пространствах с однородно-разностными ядрами, которые охватывают как интегралы типа потенциала и сингулярные интегралы, так и интегралы типа Коши и потенциалы двойного слоя. Случай аналогичных оценок в весовых лебеговых пространствах рассмотрен в последней главе 4. Интегралы с однородно-разностными ядрами будут играть существенную роль в части III монографии, посвященной эллиптическим краевым задачам. Они естественным образом возникают в интегральных представлениях решений эллиптических систем первого порядка с помощью фундаментальных матриц или их параметриксов. Исследование краевых задач для эллиптических уравнений и систем второго и высокого порядка сводится к эллиптическим системам первого порядка.

Аниконов Д. С. Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в пространстве Cα(G)// Мат. сб. - 1977. - 104, № 4. - С. 516-534.Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. - М.: Наука, 1969.Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. - М.: Мир, 1980.Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975.Бицадзе А. В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения// Докл. АН СССР. - 1953. - 93, № 3. - С. 389-392.Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970.Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. - М.: Физматгиз, 1960.Гамелин Т. Равномерные алгебры. - М.: Мир, 1973.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977.Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1972.Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. - М.: ИЛ, 1963.Гохберг И. Ц., Крупник Н. И. Введение в теорию одномерных сингулярных уравнений. - Кишинев: Штиинца, 1973.Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. - М.: Наука, 1970.Глушко В. П. Об операторах типа потенциала и некоторых теоремах вложения// Докл. АН СССР. - 1959. - 126, № 3. - С. 467-470.Дудучава Р. В. О сингулярных интегральных операторах в пространствах гельдеровых функций с весом// Докл. АН СССР. - 1970. - 191, № 1. - С. 16-19.Дудучава Р. В. О теоремах Нетера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровских функций с весом// Труды Симп. по мех. спл. среды и родственным пробл. анализа, Тбилиси, 1971. - Тбилиси: Мецниереба, 1973. - 1. - С. 89-102.Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики// Тр. Тбил. матем. ин-та АН ГрССР. - 1979. - 60. - С. 1-135.Дынькин Е. М. Методы теории сингулярных интегралов. I. Преобразование Гильберта и теория Кальдерона-Зигмунда// В сб. «Итоги науки и техники». - M.: ВИНИТИ, 1987. - 15. - С. 197-292.Дынькин Е. М. Методы теории сингулярных интегралов. II. Теория Литлвуда-Пэли и ее приложения// В сб. «Итоги науки и техники». - М.: ВИНИТИ, 1989. - 42. - С. 105-198.Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1968.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.Красносельский M. А. и др. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1971.Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. - М.: Наука, 1978.Крылов H. B. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространстве Гельдера. - Новосибирск: Научная книга, 1998.Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения. - М.: Наука, 1964.Левитан Б. М. Почти-периодические функции. - М.: Гостехиздат, 1953.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. - М.: Мир, 1967.Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977.Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. - Л.: ЛГУ, 1985.Мальцев Н. И. Основы линейной алгебры. 3-е изд. - М.: Наука, 1970.Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения// Усп. мат. наук. - 1948. - 3, № 3. - С. 29-112.Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962.Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. - М.: Мир, 1971.Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969.Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. - М.: Мир, 1970.Пирковский А. Ю. Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов. - М.: Изд-во МЦНМО, 2010.Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши// Дифф. уравн. - 2011. - 47, № 3. - С. 366-375.Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1979.Привалов И. И. Интеграл Cauchy// Изв. физ.-мат. ф-та Саратовского ун-та. - 1918. - 11, № 1. - С. 94-105.Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. 2-ое изд. - М.: Наука, 1967.Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1991.Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд. - М.: Наука, 1988.Солдатов А. П. К нетеровской теории операторов. Винеровские вложения B-алгебр// Дифф. уравн. - 1978. - 14, № 1. - С. 104-115.Солдатов А. П. Категория двойственности в теории нетеровых операторов// Дифф. уравн. - 1979. - 15, № 2. - С. 303-309.Солдатов А. П. Асимптотика решений сингулярных интегральных уравнений// Дифф. уравн. - 1986. - 22, № 1. - С. 143-153.Солдатов А. П. Асимптотика решений краевых задач для эллиптических систем вблизи угловых точек// Докл. АH СССР. - 1990. - 315, № 1. - С. 34-36.Солдатов А. П. Граничные свойства интегралов типа Коши// Дифф. уравн. - 1990. - 26, № 1. - С. 131-136.Солдатов А. П. Обобщенный интеграл типа Коши// Дифф. уравн. - 1991. - 27, № 2. - C. 3-8.Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. - М.: Высшая школа, 1991.Солдатов А. П. Обобщенный интеграл типа Коши и сингулярный интеграл в пространстве Гельдера с весом// Докл. РАH. - 1993. - 330. - С. 164-166.Солдатов А. П. Алгебра сингулярных операторов с концевым символом на кусочно-гладкой кривой. I. Операторы типа свертки на полуоси// Дифф. уравн. - 2000. - 36, № 9. - С. 1209-1219.Солдатов А. П. Алгебра сингулярных операторов с концевым символом на кусочно-гладкой кривой. II. Основные построения// Дифф. уравн. - 2001. - 37, № 6. - С. 825-838.Солдатов А. П. Алгебра сингулярных операторов с концевым символом на кусочно-гладкой кривой. III. Операторы нормального типа// Дифф. уравн. - 2001. - 37, № 10. - С. 1364-1376.Солдатов А. П. Граничные свойства обобщенных интегралов типа Коши с суммируемой плотностью// Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. акад. наук. - 2008. - 10, № 1. - С. 62-66.Солдатов А. П., Александров А. В. Граничные свойства интегралов типа Коши. Lp-случай// Дифф. уравн. - 1991. - 27, № 1. - C. 3-8.Солдатова Т. А. Обобщенные потенциалы двойного слоя// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 2009. - 6. - С. 8-17.Солдатова Т. А. Граничные свойства обобщенных интегралов типа Коши в пространствах гладких функций// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф. - 2011. - 11, № 3(1). - С. 95-109.Сохоцкий Ю. В. Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды. - С.-Петербург, 1873.Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Мир, 1972.Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Мир, 1985.Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения// Тр. Тбил. Мат. Ин-та АН ГрССР. - 1956. - 23. - С. 3-158.Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. - М.: Мир, 1962.Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. т. 1. - М.: Мир, 1986.Calderon A. P. Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1977. - 74, № 4. - С. 1324-1327.Christ M. Lectures on singular integral operators. - Providence: Am. Math. Soc., 1990.Duduchava R. V. On singular integral operators on piecewise smooth lines// In: «Function theoretic methods in differential equations». - London-San Francisco-Melbourne: Pitman, 1976. - С. 109-131.Fichera G. Linear elliptic equations of higher order in two independent variables and singular integral equations, with applications to anisotropic inhomogeneous elasticity// Proc. Int. Conf. «Part. Differ. Equ. Contin. Mech.», Madison, Wisconsin, 1960. - 1961. - С. 55-80.Fichera G., Ricci P. E. The single layer potential approach in the theory of boundary value problems for elliptic equations// In: «Lecture Notes in Math», 561. - Berlin-N.Y.: Springer, 1976. - С. 39-50Giraud G. E´ quations a` inte´grales principales; e´tude suivie d’une application// Ann. Sci. E´ c. Norm. Supe´r (3). - 51. - 1934. - С. 251-372Kufner A. Weighted Sobolev spaces. - Leipzig: Teubner Texte zur Mathematik, 1980.Mikhlin S. G., Prosdorf S. Singular integral operators. - Berlin: Academic-Verlag, 1986.Plemelj J. Ein Erga¨nzungssatz zur Cauchyschen Integraldarstellung analytischer Funktionen, Randwerte betreffend// Mon. Math. Phys. - 1908. - 19. - С. 205-210.Tricomi F. Formula d’inversione dell’ordine di due integrazioni doppie «con asterisco»// Rend. Accad. d. L. Roma (6). - 1926. - 3. - С. 535-539.