Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2239710.22363/2413-3639-2017-63-3-516-541New ResultsНовые результатыResearch ArticlePartial Preservation of Frequencies and Floquet Exponents of Invariant Tori in the Reversible KAM Context 2Частичное сохранение частот и показателей Флоке инвариантных торов в обратимом контексте 2 теории КАМSevryukM BСеврюкМихаил Борисовичsevryuk@mccme.ruV. L. Talroze Institute of Energy Problems of Chemical Physics of the Russia Academy of SciencesИнститут энергетических проблем химической физики им. В. Л. Тальрозе РАН15122017633Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения51654106122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22397We consider the persistence of smooth families of invariant tori in the reversible context 2 of KAM theory under various weak nondegeneracy conditions via Herman’s method. The reversible KAM context 2 refers to the situation where the dimension of the fixed point manifold of the reversing involution is less than half the codimension of the invariant torus in question. The nondegeneracy conditions we employ ensure the preservation of any prescribed subsets of the frequencies of the unperturbed tori and of their Floquet exponents (the eigenvalues of the coefficient matrix of the variational equation along the torus).С помощью метода Эрмана изучается сохранение гладких семейств инвариантных торов в обратимом контексте 2 теории КАМ при различных слабых условиях невырожденности. Обратимый контекст 2 - это ситуация, в которой размерность многообразия неподвижных точек обращающей инволюции меньше половины коразмерности рассматриваемого инвариантного тора. Используемые условия невырожденности гарантируют сохранение любых заранее выбранных подмножеств частот невозмущенных торов и их показателей Флоке (собственных чисел матрицы коэффициентов вариационного уравнения вдоль тора).1.Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. - М.: Наука, 1980.2.Де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию. - Москва-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2003.3.Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. - М.: Мир, 1969.4.Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980.5.Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды// Усп. мат. наук. - 1969. - 24, вып. 2. - C. 165-211.6.Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп. - М.: Мир, 1980.7.Севрюк М. Б. Линейные обратимые системы и их версальные деформации// Тр. сем. им. И. Г. Петровского - 1991. - вып. 15. - C. 33-54.8.Севрюк М. Б. Некоторые проблемы теории КАМ: условно-периодические движения в типичных системах// Усп. мат. наук. - 1995. - 50, вып. 2. - C. 111-124.9.Севрюк М. Б. Частичное сохранение частот и показателей Флоке в теории КАМ// Тр. МИАН. - 2007. - 259. - C. 174-202.10.Arnold V. I., Kozlov V. V., Neishtadt A. I. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. - Berlin: Springer-Verlag, 2006.111.Bredon G. E. Introduction to Compact Transformation Groups. - New York: Academic Press, 1972.12.Broer H. W., Ciocci M. C., Hanßmann H., Vanderbauwhede A. Quasi-periodic stability of normally resonant tori// Phys. D. - 2009. - 238, № 3. - C. 309-318.13.Broer H. W., Hoo J., Naudot V. Normal linear stability of quasi-periodic tori// J. Differ. Equ. - 2007. - 232, № 2. - C. 355-418.14.Broer H. W., Huitema G. B. Unfoldings of quasi-periodic tori in reversible systems// J. Dynam. Differ. Equ. - 1995. - 7, № 1. - C. 191-212.15.Broer H. W., Huitema G. B., Sevryuk M. B. Families of quasi-periodic motions in dynamical systems depending on parameters// В сб.: «Nonlinear Dynamical Systems and Chaos». - Basel: Birkha¨user, 1996. - С. 171-211.16.Broer H. W., Huitema G. B., Sevryuk M. B. Quasi-Periodic Motions in Families of Dynamical Systems. Order amidst Chaos. - Berlin: Springer, 1996.17.Broer H. W., Huitema G. B., Takens F. Unfoldings of quasi-periodic tori// Mem. Am. Math. Soc. - 1990. - 83, № 421. - C. 1-81.18.Broer H. W., Sevryuk M. B. KAM theory: Quasi-periodicity in dynamical systems// В сб.: «Handbook of Dynamical Systems», Vol. 3. - Amsterdam: Elsevier, 2010. - С. 249-344.19.Calleja R. C., Celletti A., de la Llave R. Domains of analyticity and Lindstedt expansions of KAM tori in some dissipative perturbations of Hamiltonian systems// Nonlinearity. - 2017. - 30, № 8. - C. 3151-3202.20.Chow S.-N., Li Y., Yi Y. Persistence of invariant tori on submanifolds in Hamiltonian systems// J. Nonlinear Sci. - 2002. - 12, № 6. - C. 585-617.21.Conner P. E., Floyd E. E. Differentiable Periodic Maps. - New York: Academic Press, Berlin: Springer, 1964.22.De la Llave R. A tutorial on KAM theory// Proc. Symp. Pure Math. - 2001. - 69. - С. 175-292.23.Dumas H. S. The KAM Story. A Friendly Introduction to the Content, History, and Significance of Classical Kolmogorov-Arnold-Moser Theory. - Hackensack: World Scientific, 2014.124.Gonza´ lez-Enr´ıquez A., Haro A`., de la Llave R. Singularity theory for non-twist KAM tori// Mem. Am. Math. Soc. - 2014. - 227, № 1067. - C. 1-115.25.Hanßmann H. Non-degeneracy conditions in KAM theory// Indag. Math. (N. S.). - 2011. - 22, № 3-4. - C. 241-256.26.Haro A`., Canadell M., Figueras J.-L., Luque A., Mondelo J.-M. The Parameterization Method for Invariant Manifolds. From Rigorous Results to Effective Computations. - Cham: Springer, 2016.27.Hoveijn I. Versal deformations and normal forms for reversible and Hamiltonian linear systems// J. Differ. Equ. - 1996. - 126, № 2. - C. 408-442.28.Kong Y., Xu J. Persistence of lower dimensional hyperbolic tori for reversible system// Appl. Math. Comput. - 2014. - 236. - C. 408-421.29.Lamb J. S. W., Roberts J. A. G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: a survey// Phys. D. - 1998. - 112, № 1-2. - C. 1-39.30.Li Y., Yi Y. Persistence of hyperbolic tori in Hamiltonian systems// J. Differ. Equ. - 2005. - 208, № 2. - C. 344-387.31.Liu Zh. Persistence of lower dimensional invariant tori on sub-manifolds in Hamiltonian systems// Nonlinear Anal. - 2005. - 61, № 8. - C. 1319-1342.32.Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. - New York: Springer, 1976.33.Montgomery D., Zippin L. Topological Transformation Groups. - Huntington: R. E. Krieger Publishing, 1974.34.Morris S. A. Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1977.35.Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions// Math. Ann. - 1967. - 169, № 1. - C. 136-176.36.Quispel G. R. W., Sevryuk M. B. KAM theorems for the product of two involutions of different types// Chaos. - 1993. - 3, № 4. - C. 757-769.37.Roberts J. A. G., Quispel G. R. W. Chaos and time-reversal symmetry. Order and chaos in reversible dynamical systems// Phys. Rep. - 1992. - 216, № 2-3. - C. 63-177.38.Ru¨ ssmann H. Invariant tori in non-degenerate nearly integrable Hamiltonian systems// Regul. Chaotic Dyn. - 2001. - 6, № 2. - C. 119-204.39.Ru¨ ssmann H. Addendum to «Invariant tori in non-degenerate nearly integrable Hamiltonian systems»// Regul. Chaotic Dyn. - 2005. - 10, № 1. - C. 21-31.40.Sevryuk M. B. Reversible Systems. - Berlin: Springer, 1986.41.Sevryuk M. B. The iteration-approximation decoupling in the reversible KAM theory// Chaos. - 1995. - 5, № 3. - C. 552-565.42.Sevryuk M. B. Excitation of elliptic normal modes of invariant tori in Hamiltonian systems// В сб.: «Topics in Singularity Theory». - Providence: Am. Math. Soc., 1997. - С. 209-218.43.Sevryuk M. B. Excitation of elliptic normal modes of invariant tori in volume preserving flows// В сб.: «Global Analysis of Dynamical Systems». - Bristol: Inst. Phys., 2001. - С. 339-352.44.Sevryuk M. B. Partial preservation of frequencies in KAM theory// Nonlinearity. - 2006. - 19, № 5. - C. 1099-1140.45.Sevryuk M. B. Invariant tori in quasi-periodic non-autonomous dynamical systems via Herman’s method// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2007. - 18, № 2-3. - C. 569-595.46.Sevryuk M. B. KAM tori: persistence and smoothness// Nonlinearity. - 2008. - 21, № 10. - C. T177- T185.47.Sevryuk M. B. The reversible context 2 in KAM theory: the first steps// Regul. Chaotic Dyn. - 2011. - 16, № 1-2. - C. 24-38.48.Sevryuk M. B. KAM theory for lower dimensional tori within the reversible context 2// Mosc. Math. J. - 2012. - 12, № 2. - C. 435-455.49.Sevryuk M. B. Quasi-periodic perturbations within the reversible context 2 in KAM theory// Indag. Math. (N. S.). - 2012. - 23, № 3. - C. 137-150.50.Sevryuk M. B. Whitney smooth families of invariant tori within the reversible context 2 of KAM theory// Regul. Chaotic Dyn. - 2016. - 21, № 6. - C. 599-620.51.Sevryuk M. B. Herman’s approach to quasi-periodic perturbations in the reversible KAM context 2// Mosc. Math. J. - 2017. - 17, № 4. - C. 803-823.52.Shih C. W. Normal forms and versal deformations of linear involutive dynamical systems// Chinese J. Math. - 1993. - 21, № 4. - C. 333-347.53.Tao T. Poincare´’s Legacies, Pages from Year Two of a Mathematical Blog. Part I. - Providence: Am. Math. Soc., 2009.54.Tits J. Œuvres/Collected Works. Vol. IV. - Zu¨ rich: Eur. Math. Soc., 2013.55.Wagener F. A parametrised version of Moser’s modifying terms theorem// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S. - 2010. - 3, № 4. - C. 719-768.56.Wang X., Xu J., Zhang D. Persistence of lower dimensional elliptic invariant tori for a class of nearly integrable reversible systems// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. - 2010. - 14, № 3. - C. 1237-1249.57.Wang X., Xu J., Zhang D. A new KAM theorem for the hyperbolic lower dimensional tori in reversible systems// Acta Appl. Math. - 2016. - 143.- C. 45-61.58.Wang X., Xu J., Zhang D. A KAM theorem for the elliptic lower dimensional tori with one normal frequency in reversible systems// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2017. - 37, № 4. - C. 2141-2160.59.Xu J., Lu X. General KAM theorems and their applications to invariant tori with prescribed frequencies// Regul. Chaotic Dyn. - 2016. - 21, № 1. - C. 107-125.60.Yoccoz J.-C. Travaux de Herman sur les tores invariants// Aste´risque. - 1992. - 206. - C. 311-344.61.Zhang D., Xu J., Wu H. On invariant tori with prescribed frequency in Hamiltonian systems// Adv. Nonlinear Stud. - 2016. - 16, № 4. - C. 719-735.