Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2239410.22363/2413-3639-2017-63-3-475-493New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Entropy Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity IndicesОб энтропийных решениях анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областяхKozhevnikovaL MКожевниковаЛ Мkosul@mail.ruSterlitamak Branch of Bashkir State UniversityСтерлитамакский филиал Башкирского государственного университетаElabuga Branch of Kazan Federal UniversityЕлабужский Институт Казанского Федерального университета15122017633Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения47549306122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22394For a certain class of second-order anisotropic elliptic equations with variable nonlinearity indices and L1 right-hand side we consider the Dirichlet problem in arbitrary unbounded domains. We prove the existence and uniqueness of entropy solutions in anisotropic Sobolev spaces with variable indices.Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей и L1-правой частью в произвольных неограниченных областях рассматривается задача Дирихле. Доказаны существование и единственность энтропийных решений в анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями.1.Жиков В. В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с нестандартными условиями роста// Пробл. мат. анализа. - 2011. - 54. - C. 23-112.2.Ковалевский А. А. Априорные свойства решений нелинейных уравнений с вырождающейся коэрцитивностью и L1-данными// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2006. - 16.- C. 47-67.3.Ковалевский А. А. О сходимости функций из cоболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам// Укр. мат. ж. - 2006. - 58, № 2. - C. 168-183.4.Кожевникова Л. M. Об энтропийном решении эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2017. - 57, № 3. - C. 429-447.5.Кожевникова Л. M. Существование энтропийных решений эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прилож. Темат. обз. - 2017. - 139. - С. 15-38.6.Кожевникова Л. M., Камалетдинов А. Ш. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях// Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1. Мат. Физ. - 2016. - № 5(36). - C. 29-41.7.Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Мат. сб. - 1970. - 81, № 123. - C. 228-255.8.Aharouch L., Bennouna J., Touzani A. Existence of renormalized solution of some elliptic problems in Orlicz spaces// Rev. Mat. Complut. - 2009. - 22, № 1. - С. 91-110.9.Alvino A., Boccardo L., Ferone V., Orsina L., Trombetti G. Existence results for nonlinear elliptic equations with degenerate coercivity// Ann. Mat. Pura Appl. (4). - 2003. - 182, № 1. - С. 53-79.10.Azroul E., Hjiaj H., Touzani A. Existence and regularity of entropy solutions for strongly nonlinear p(x)-elliptic equations// Electron. J. Differ. Equ. - 2013. - 2013, № 68. - С. 1-27.11.Benboubker M. B., Azroul E., Barbara A. Quasilinear elliptic problems with nonstandartd growths// Electron. J. Differ. Equ. - 2011. - 2011, № 62. - С. 1-16.12.Benboubker M. B., Chrayteh H., El Moumni M., Hjiaj H. Entropy and renormalized solutions for nonlinear elliptic problem involving variable exponent and measure data// Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). - 2015. - 31, № 1. - С. 151-169.13.Benboubker M. B., Hjiaj H., Ouaro S. Entropy solutions to nonlinear elliptic anisotropic problem with variable exponent// J. Appl. Anal. Comput. - 2014. - 4, № 3. - С. 245-270.14.Bendahmane M., Karlsen K. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in RN with advection and lower order terms and locally integrable data// Potential Anal. - 2005. - 22, № 3. - С. 207-227.15.Bendahmane M., Wittboldb P. Renormalized solutions for nonlinear elliptic equation with variable exponents and L1-data// Nonlinear Anal. - 2009. - С. 1-21.16.Benilan Ph., Boccardo L., Galloue¨t Th., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J. L. An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5). - 1995. - 22, № 2. - С. 241-273.17.Benkirane A., Bennouna J. Existence of entropy solutions for some elliptic problems involving derivatives of nonlinear terms in Orlicz spaces// Abstr. Appl. Anal. - 2002. - 7, № 2. - С. 85-102.18.Bidaut-Veron M. F. Removable singularities and existence for a quasilinear equation with absorption or source term and measure data// Adv. Nonlinear Stud. - 2003. - 3. - С. 25-63.19.Boccardo L., Galloue¨t Th. Nonlinear elliptic equations with right-hand side measures// Commun. Part. Differ. Equ. - 1992. - 17, № 3-4. - С. 641-655.20.Boccardo L., Galloue¨t Th., Marcellini P. Anisotropic equations in L1// Differ. Integral Equ. - 1996. - 9, № 1. - С. 209-212.21.Boccardo L., Galloue¨t T., Vazquez J. L. Nonlinear elliptic equations in RN without growth restrictions on the data// J. Differ. Equ. - 1993. - 105, № 2. - С. 334-363.22.Bonzi B. K., Ouaro S. Entropy solutions for a doubly nonlinear elliptic problem with variable exponent// J. Math. Anal. Appl. - 2010. - 370. - С. 392-405.23.Brezis H. Semilinear equations in RN without condition at infinity// Appl. Math. Optim. - 1984. - 12, № 3. - С. 271-282.24.Diening L., Harjulehto P., Ha¨ sto¨ P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2011.25.El Hachimi A., Jamea A. Uniqueness result of entropy solution to nonlinear neumann problems with variable exponent and L1-data// J. Nonlinear Evol. Equ. Appl. - 2017. - 2017, № 2. - С. 13-25.26.Fan X. Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and p(x)-Laplacian equations// Complex Var. Elliptic Equ. - 2011. - 56, № 7-9. - С. 623-642.27.Gwiazda P., Wittbold P., Wro´blewska A., Zimmermann A. Renormalized solutions of nonlinear elliptic problems in generalized Orlicz spaces// J. Differ. Equ. - 2012. - 253. - С. 635-666.28.Halsey T. C. Electrorheological fluids// Science. - 1992. - 258, № 5083. - С. 761-766.29.Ouaro S. Well-Posedness Results for Anisotropic Nonlinear Elliptic Equations with Variable Exponent and L1-Data// Cubo. - 2010. - 12, № 1. - С. 133-148.30.Sancho’n M., Urbano J. M. Entropy solutions for the p(x)-laplace equation// Trans. Am. Math. Soc. - 2009. - 361, № 12. - С. 6387-6405.