Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2239310.22363/2413-3639-2017-63-3-455-474New ResultsНовые результатыResearch ArticleDynamical Systems and Topology of Magnetic Fields in Conducting MediumДинамические системы и топология магнитных полей в проводящей средеGrinesV ZГринесВ Зvgrines@yandex.ruZhuzhomaE VЖужомаЕ Вezhuzhoma@hse.ruPochinkaO VПочинкаО Вolga-pochinka@yandex.ruNational Research University - Higher School of EconomicsНациональный исследовательский университет «Высшая школа экономики»15122017633Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения45547406122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22393We discuss application of contemporary methods of the theory of dynamical systems with regular and chaotic hyperbolic dynamics to investigation of topological structure of magnetic fields in conducting media. For substantial classes of magnetic fields, we consider well-known physical models allowing us to reduce investigation of such fields to study of vector fields and Morse-Smale diffeomorphisms as well as diffeomorphisms with nontrivial basic sets satisfying the A axiom introduced by Smale. For the point-charge magnetic field model, we consider the problem of separator playing an important role in the reconnection processes and investigate relations between its singularities. We consider the class of magnetic fields in the solar corona and solve the problem of topological equivalency of fields in this class. We develop a topological modification of the Zeldovich funicular model of the nondissipative cinematic dynamo, constructing a hyperbolic diffeomorphism with chaotic dynamics that is conservative in the neighborhood of its transitive invariant set.В обзоре обсуждается применение современных методов теории динамических систем с регулярной и хаотической гиперболической динамикой к исследованию топологической структуры магнитных полей в проводящих средах. Для содержательных классов магнитных полей рассматриваются известные физические модели, позволяющие редуцировать исследование таких полей к изучению векторных полей и диффеоморфизмов Морса-Смейла, а также диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме A, введенной С. Смейлом, обладающих нетривиальными базисными множествами. Для точечно-зарядной модели магнитного поля рассматриваются вопросы существования сепараторов, играющих важную роль в процессах пересоединения, а также изучаются соотношения между его особенностями. Приводится класс магнитных полей в короне Солнца, внутри которого решается вопрос о топологической эквивалентности двух полей. Приводится топологическая конструкция модификации веревочной модели Я. Б. Зельдовича недиссипативного кинематического динамо, заключающаяся в построении гиперболического диффеоморфизма с хаотической динамикой и консервативного в окрестности своего транзитивного инвариантного множества.1.Альвен Г., Фельтхаммар К.-Г. Космическая электродинамика. - М.: Мир, 1967.2.Аносов Д. В., Солодов В. В. Гиперболические множества// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1991. - 66.- C. 12-99.3.Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦНМО, 2007.4.Вайнштейн С. И., Зельдович Я. Б. О происхождении магнитных полей в астрофизике (Турбулентные механизмы «динамо»)// Усп. физ. наук. - 1972. - 106. - С. 431-457.5.Горбачев В. С., Кельнер С. Р., Сомов Б. В., Шварц А. С. Новый топологический подход к вопросу о тригггере солнечных вспышек// Астрон. журн. - 1988. - 65. - С. 601-612.6.Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Жужома Е. В., Зинина С. Х. Гетероклинические кривые диффеоморфизмов Морса-Смейла и сепараторы в магнитном поле плазмы// Нелин. динамика. - 2014. - 10. - С. 427- 438.7.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. Новые соотношения для потоков и диффеоморфизмов Морса-Смейла// Докл. РАН. - 2002. - 382, № 6. - С. 730-733.8.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - С. 111-133.9.Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размерности два и три. - М.-Ижевск: НИЦ «Регул. и хаот. динамика», 2011.10.Гринес В. З., Починка О. В. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях// Усп. мат. наук. - 2013. - 68, № 1. - С. 129-188.11.Жужома Е. В., Исаенкова Н. В. О нульмерных соленоидальных базисных множествах// Мат. сб. - 2011. - 202, № 3. - С. 47-68.12.Жужома Е. В., Исаенкова Н. В., Медведев В. С. О топологической структуре магнитного поля областей фотосферы// Нелин. динамика. - 2017. - 13, № 3. - С. 399-412.13.Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма// Усп. физ. наук. - 1987. - 152. - С. 263-284.14.Каток А., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. - М.: Факториал, 1999.15.Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. - М.: ИЛ, 1959.16.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика в 10 томах. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. - М.: Физматлит, 2005.17.Молоденский М. М., Сыроватский С. И. Магнитные поля активных областей и их нулевые точки// Астрон. журн. - 1977. - 54. - С. 1293-1304.18.Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Кинематическое динамо в случайном потоке// Усп. физ. наук. - 1985. - 145. - С. 593-628.19.Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. - М.: Мир, 1980.20.Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. - М.: Мир, 1975.21.Прист Э. Р., Форбс Т. Магнитное пересоединение: магнитогидродинамическая теория и приложения. - М.: ФМЛ, 2005.22.Соколов Д. Д. Проблемы магнитного динамо// Усп. физ. наук. - 2015. - 185. - С. 643-648.23.Соколов Д. Д., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Динамо: на пути от астрофизических моделей к лабораторному эксперименту// Усп. физ. наук. - 2014. - 184. - С. 313-335.24.Сыроватский С. И. Магнитная гидродинамика// Усп. физ. наук. - 1957. - 62, № 3. - С. 247-303.25.Эльзассер В. М. Магнитная гидродинамика// Усп. физ. наук. - 1958. - 64. - С. 529-588.26.Alfven H. On sunspots and the solar cycle// Arc. F. Mat. Ast. Fys. - 1943. - 29A. - С. 1-17.27.Alfven H. Electric currents in cosmic plasmas// Rev. Geophys. Space Phys. - 1977. - 15. - С. 271.28.Baum P., Bratenahl A. Flux linkages of bipolar sunspot groups: a computer study// Solar Phys. - 1980. - 67. - С. 245-258.29.Beveridge C., Priest E. R., Brown D. S. Magnetic topologies due to two bipolar regions// Solar Phys. - 2002. - 209, № 2. - С. 333-347.30.Beveridge C., Priest E. R., Brown D. S. Magnetic topologies in the solar corona due to four discrete photospheric flux regions// Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2004. - 98, № 5. - С. 429-445.31.Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Three-dimensional manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves// Topology Appl. - 2002. - 117. - С. 335-344.32.Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds// Math. Nachr. - 1983. - 112. - С. 69-102.33.Brown D. S., Priest E. R. The topological behaviour of 3D null points in the Sun’s corona// Astron. Astrophys. - 2001. - 367. - С. 339.34.Childress S., Gilbert A. D. Stretch, Twist, Fold: the Fast Dynamo. - Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer, 1995.35.Close R. M., Parnell C. E., Priest E. R. Domain structures in complex 3D magnetic fields// Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2005. - 99, № 6. - С. 513-534.36.Duvaut G., Lions J. L. Ine´quations en thermoe´lasticite´ et magne´tohydrodynamique// Arch. Ration. Mech. Anal.- 1972.- 46. - С. 241-279.37.Elsasser W. M. Magnetohydrodynamics// Am. J. Phys. - 1955. - 23. - С. 590.38.Fomenko A. T. Differential Geometry and Topology. - N.Y.-London: Plenum Publ. Corp., 1987.39.Grines V., Medvedev T., Pochinka O. Dynamical Systems on 2and 3-Manifolds. - Cham: Springer, 2016.40.Grines V., Medvedev T., Pochinka O., Zhuzhoma E. On heteroclinic separators of magnetic fields in electrically conducting fluids// Phys. D: Nonlinear Phenom. - 2015. - 294. - С. 1-5.41.Grines V. Z., Pochinka O. V. Morse-Smale cascades on 3-manifolds// Russ. Math. Surv. - 2013. - 68, № 1. - С. 117-173.42.Grines V., Pochinka O. Topological classification of global magnetic fields in the solar corona// Dyn. Syst. - 2017. - сдано в печать.43.Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. - Cambridge-N.Y.: Cambridge University Press, 1995.44.Klapper I., Young L.-S. Rigorous bounds of the fast dynamo growth rate involving topological entropy// Commun. Math. Phys. - 1995. - 173. - С. 623-646.45.Longcope D. W. Topological and current ribbons: a model for current, reconnection anf flaring in a complex, evolving corona// Solar Phys. - 1996. - 169. - С. 91-121.46.Maclean R. C., Beveridge C., Hornig G., Priest E. R. Coronal magnetic topologies in a spherical geometry, Two bipolar flux sources// Solar Phys. - 2006. - 235, № 1-2. - С. 259-280.47.Maclean R., Beveridge C., Longcope D., Brown D., Priest E. A topological analysis of the magnetic breakout model for an eruptive solar flare// Proc. R. Soc. London Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 2005. - 461. - С. 2099.48.Maclean R., Beveridge C., Priest E. Coronal magnetic topologies in a spherical geometry, II. Four balanced flux sources// Solar Phys. - 2006. - 238.- С. 13-27.49.Maclean R. C., Priest E. R. Topological aspects of global magnetic field behaviour in the solar corona// Solar Phys. - 2007. - 243, № 2. - С. 171-191.50.Moffatt H. Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fields. - Cambridge: Cambridge University Press, 1978.51.Oreshina A. V., Oreshina I. V., Somov B. V. Magnetic-topology evolution in NOAA AR 10501 on 2003 November 18// Astron. Astrophys. - 2012. - 538. - С. 138.52.Parker E. N. Hydromagnetic dynamo models// Astrophys. J. - 1955. - 122. - С. 293-314.53.Poincare H. Sur les courbes definies par une equation differentielles, III// J. Math. Pures Appl. - 1882. - 4, № 1. - С. 167-244.54.Priest E. R. Solar Magnetohydrodynamics. - Dordrecht: Springer, 1982.55.Priest E., Bungey T., Titov V. The 3D topology and interaction of complex magnetic flux systems// Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1997. - 84. - С. 127-163.56.Priest E., Forbes T. Magnetic Reconnection: MHD Theory and Applications. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.57.Priest E., Schriver C. Aspects of three-dimensional magnetic reconnection// Solar Phys. - 1999. - 190.- С. 1-24.58.Priest E. R., Titov V. S. Magnetic reconnection at three-dimensional null points// Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 1996. - 354. - С. 2951-2992.59.Shu-Guang Shao, Shu Wang, Wen-Qing Xu, Yu-Li Ge. On the local C1,α solution of ideal magnetohydrodynamical equations// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2007. - 37, № 4. - С. 2103-2118.60.Somov B. V. Plasma Astrophysics, Part II: Reconnection and Flares. - N.Y.: Springer, 2013.61.Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points// Matematika. - 1967. - 11, № 4. - С. 88-106.62.Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - 73. - С. 741-817.63.Sweet P. A. The production of high energy particles in solar flares// Nuovo Cimento Suppl. - 1958. - 8, Ser. X. - С. 188-196.