Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2238910.22363/2413-3639-2017-63-3-373-391New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Lacunas in the Lower Part of the Spectrum of the Periodic Magnetic Operator in a StripО лакунах в нижней части спектра периодического магнитного оператора в полосеBorisovDenis IБорисовДенис Ивановичborisovdi@yandex.ruInstitute of Mathematics with Computer Center, Ufa Science CenterИнститут математики с ВЦ УНЦ РАНBashkir State Pedagogical UniversityБашкирский государственный педагогический университет им. М. АкмуллыUniversity of Hradec Kra´love´Университет Градца Кралове15122017633Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения37339106122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22389We consider the Schro¨dinger periodic magnetic operator in an infinite flat straight strip. We prove that if the magnetic potential satisfies certain conditions and the period is small enough, then the lower part of the band spectrum has no inner lacunas. The length of the lower part of the band spectrum with no inner lacunas is calculated explicitly. The upper estimate for the small parameter allowing these results is calculated as a number as well.В работе рассматривается периодический магнитный оператор Шредингера в бесконечной плоской прямой полосе. Показано, что при определенных условиях на магнитный потенциал и достаточно малом периоде нижняя часть зонного спектра не содержит внутренних лакун. Длина нижней части зонного спектра, в которой гарантируется отсутствие внутренних лакун, получена в явном виде. Верхняя оценка на величину малого параметра, гарантирующая описанный выше результат, также получена в виде конкретного числа.1.Борисов Д. И. Об отсутствии лакун в нижней части спектра Лапласиана с частым чередованием краевых условий в полосе// Теор. мат. физ. - принято к печати.2.Либ Э., Лосс М. Анализ. - Новосибирск: Научная книга, 1998.3.Сеник Н. Н. Усреднение периодического эллиптического оператора в полосе при различных граничных условиях// Алгебра и анализ. - 2013. - 25, № 4. - С. 182-259.4.Скриганов М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов// Тр. МИАН. - 1985. - 171. - С. 3-122.5.Скриганов М. М., Соболев А. В. Асимптотические оценки для спектральных зон периодических операторов Шредингера// Алгебра и анализ. - 2005. - 17, № 1. - С. 276-288.6.Суслина Т. А. Об усреднении периодического эллиптического оператора в полосе// Алгебра и анализ. - 2004. - 16, № 1. - С. 269-292.7.Barbatis G., Parnovski L. Bethe-Sommerfeld conjecture for pseudo-differential perturbation// Commun. Part. Differ. Equ. - 2009. - 34, № 4. - С. 383-418.8.Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition// Ann. Henri Poincare´. - 2010. - 11, № 8. - С. 1591-1627.9.Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics// Z. Angew. Math. Phys. - 2013. - 64, № 3. - С. 439-472.10.Borisov D., Cardone G. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions// J. Phys. A. Math. Gen. - 2009. - 42, № 36. - Id 365205.11.Borisov D., Cardone G., Durante T. Homogenization and uniform resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve// Proc. R. Soc. Edin. Sec. A. Math. - 2016. - 146, № 6. - С. 1115-1158.12.Borisov D., Cardone G., Faella L., Perugia C. Uniform resolvent convergence for a strip with fast oscillating boundary// J. Differ. Equ. - 2013. - 255, № 12. - С. 4378-4402.13.Dahlberg B. E. J., Trubowitz E. A remark on two dimensional periodic potentials// Comment. Math. Helv. - 1982. - 57, № 1. - С. 130-134.14.Helffer B., Mohamed A. Asymptotics of the density of states for the Schro¨dinger operator with periodic electric potential// Duke Math. J. - 1998. - 92, № 1. - С. 1-60.15.Karpeshina Y. Spectral properties of the periodic magnetic Schro¨dinger operator in the high-energy region. Two-dimensional case// Commun. Math. Phys. - 2004. - 251, № 3. - С. 473-514.16.Mohamed A. Asymptotic of the density of states for the Schro¨dinger operator with periodic electromagnetic potential// J. Math. Phys. - 1997. - 38, № 8. - С. 4023-4051.17.Parnovski L. Bethe-Sommerfeld conjecture// Ann. Henri Poincare´. - 2008. - 9, № 3. - С. 457-508.18.Parnovski L., Sobolev A. On the Bethe-Sommerfeld conjecture for the polyharmonic operator// Duke Math. J. - 2001. - 107, № 2. - С. 209-238.19.Parnovski L., Sobolev A. V. Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic operators with strong perturbations// Invent. Math. - 2010. - 181, № 3. - С. 467-540.20.Skriganov M. M., Sobolev A. V. Variation of the number of lattice points in large balls// Acta Arith. - 2005. - 120, № 3. - С. 245-267.