Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2238210.22363/2413-3639-2017-63-2-223-246New ResultsНовые результатыResearch ArticleLarge Time Asymptotics of Fundamental Solution for the Diffusion Equation in Periodic Medium and Its Application to Estimates in the Theory of AveragingАсимптотика фундаментального решения для уравнения диффузии в периодической среде на больших временах и ее применение к оценкам теории усредненияZhikovV VЖиковВасилий Васильевичpas-se@yandex.ruPastukhovaS EПастуховаСветлана Евгеньевнаpas-se@yandex.ruVladimir State UniversityВладимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. СтолетовыхMoscow Technological University (MIREA)Московский технологический университет (МИРЭА)15122017632Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума22324606122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22382The diffusion equation is considered in an infinite 1-periodic medium. For its fundamental solution we find approximations at large values of time t. Precision of approximations has pointwise and integral estimates of orders O(t(-d+j+1)/2) and O(t(-j+1)/2), j=0,1,…, respectively. Approximations are constructed based on the known fundamental solution of the averaged equation with constant coefficients, its derivatives, and solutions of a family of auxiliary problems on the periodicity cell. The family of problems on the cell is generated recurrently. These results are used for construction of approximations of the operator exponential of the diffusion equation with precision estimates in operator norms in Lp-spaces, 1≤p≤∞. For the analogous equation in an ε-periodic medium (here ε is a small parameter) we obtain approximations of the operator exponential in Lp-operator norms for a fixed time with precision of order O(εn), n=1,2,….Рассматривается уравнение диффузии в бесконечной 1-периодической среде. Для фундаментального решения находятся аппроксимации при больших значениях времени t. Погрешность аппроксимаций имеет поточечную и интегральную оценки порядка O(t(-d+j+1)/2) и O(t(-j+1)/2), j=0,1,…, соответственно. Аппроксимации строятся из известного фундаментального решения усредненного уравнения, имеющего постоянные коэффициенты, и его производных, а также решений серии вспомогательных задач на ячейке периодичности. Серия задач на ячейке выписывается рекуррентным образом. Эти результаты используются для построения аппроксимаций операторной экспоненты исходного уравнения диффузии с оценками погрешности по операторным нормам в Lp-пространствах, 1≤p≤∞. Для аналогичного уравнения в ε-периодической среде (ε - малый параметр) получаются аппроксимации операторной экспоненты в Lp-операторных нормах при фиксированном времени с погрешностью порядка O(εn), n=1,2,….1.Александрова И. А. Спектральный метод в асимптотических задачах диффузии со сносом// Мат. заметки. - 1996. - 59, № 5. - С. 768-770.2.Беляев А. Ю. Волны сжатия в жидкости с пузырьками воздуха// Прикл. мат. мех. - 1988. - 52, № 3. - С. 444-449.3.Беляев А. Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. - М.: Наука, 2004.4.Бирман М. С., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения// Алгебра и анализ. - 2003. - 15, № 5. - С. 1-108.5.Василевская Е. С. Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами при учете корректора// Алгебра и анализ. - 2008. - 21, № 1. - С. 3-60.6.Василевская Е. С., Суслина Т. А. Пороговые аппроксимации факторизованного самосопряженного операторного семейства с учетом первого и второго корректоров// Алгебра и анализ. - 2011. - 23, № 2. - С. 102-146.7.Жиков В. В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболического уравнения второго порядка с младшими членами// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1983. - 46. - С. 69-98.8.Жиков В. В. Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии// Дифф. уравн. - 1989. - 25, № 1. - С. 44-50.9.Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.10.Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 3. - С. 27-122.11.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.12.Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983.13.Коротков В. Б. Интегральные операторы. - Новосибирск: Наука, 1983.14.Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.15.Пастухова С. Е. Аппроксимации операторной экспоненты в периодической задаче диффузии со сносом// Мат. сб. - 2013. - 204, № 2. - С. 133-160.16.Севостьянова Е. В. Асимптотическое разложение решения эллиптического уравнения второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами// Мат. сб. - 1981. - 115, № 2. - С. 204- 222.17.Суслина Т. А. Об усреднении периодических параболических систем// Функц. анализ и его прилож. - 2004. - 38, № 4. - С. 86-90.18.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. - М.: Мир, 1967.19.Bensousan A., Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: North Holland, 1978.20.Ortega J. H., Zuazua E. Large time behavior in Rd for linear parabolic equations with periodic coefficients// Asymptot. Anal. - 2000. - 22, № 1. - С. 51-85.21.Pastukhova S. E. Approximations of the exponential of an operator with periodic coefficients// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2012. - 181, № 5. - С. 668-700.22.Pastukhova S. E., Tikhomirov R. N. Error estimates of homogenization in the Neumann boundary problem for an elliptic equation with multiscale coefficients// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2016. - 216, № 2. - С. 325- 344.23.Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients// Russ. J. Math. Phys. - 2006. - 13, № 2. - С. 224-237.24.Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Bloch principle for elliptic differential operators with periodic coefficients// Russ. J. Math. Phys. - 2016. - 23, № 2. - С. 257-277.