Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2238110.22363/2413-3639-2017-63-2-191-222New ResultsНовые результатыResearch ArticleConstruction of Energetic Functions for Ω-Stable Diffeomorphisms on 2and 3-ManifoldsПостроение энергетических функций для Ω-устойчивых диффеоморфизмов на 2и 3многообразияхGrinesV ZГринесВ Зvgrines@yandex.ruPochinkaO VПочинкаО Вolga-pochinka@yandex.ruNational Research University - Higher School of EconomicsНациональный исследовательский университет «Высшая школа экономики»15122017632Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума19122206122019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22381In this paper, we review the results connected to existence of the energetic function for discrete dynamical systems. Also we consider technique of construction of such functions for some classes of Ωstable and structurally stable diffeomorphisms on manifolds of dimension 2 and 3.Настоящий обзор посвящен изложению результатов, связанных с вопросами существования энергетической функции у дискретных динамических систем, а также с техникой построения таких функций для некоторых классов Ω-устойчивых и структурно устойчивых диффеоморфизмов на многообразиях размерности 2 и 3.1.Гринес В. З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами// Мат. сб. - 1997. - 188. - C. 57-94.2.Гринес В. З., Жужома Е. В. Структурно устойчивые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2002. - 66, № 2. - C. 3-66.3.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. C., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса- Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - C. 111-133.4.Гринес В. З., Жужома Е. В., Починка О. В. Грубые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 57. - C. 5-30.5.Гринес В. З., Лауденбах Ф., Починка О. Квази-энергетическая функция для диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 2. - C. 175-183.6.Гринес В. З., Медведев В. С., Жужома Е. В. О поверхностных аттракторах и репеллерах на 3многообразиях// Мат. заметки. - 2005. - 78, № 6. - С. 813-826.7.Гринес В. З., Носкова М. К., Починка О. В. Построение энергетической функции для A-диффеоморфизмов с двумерным неблуждающим множеством на 3-многообразиях// Тр. Средневолжск. Мат. об-ва. - 2015. - 17, № 3. - С. 12-17.8.Гринес В. З., Носкова М. К., Починка О. В. Построение энергетической функции для трехмерных каскадов с двумерным растягивающимся аттрактором// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 2015. - 76, № 2. - С. 271-286.9.Медведев В. С., Жужома Е. В. О неориентируемых двумерных базисных множествах на 3-многообразиях// Мат. сб. - 2002. - 193, № 6. - C. 83-104.10.Милнор Дж. Теория Морса. - Волгоград: Платон, 1969.11.Митрякова Т. М., Починка О. В., Шишенкова А. Е. Энергетическая функция для диффеоморфизмов поверхностей с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством// Журн. Средневолжск. Мат. об-ва. - 2012. - 14, № 1. - C. 98-107.12.Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях// Мат. сб. - 1998. - 189, № 8. - C. 93-140.13.Плыкин Р. В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб. - 1974. - 94. - C. 243- 264.14.Плыкин Р. В. О структуре централизаторов аносовских диффеоморфизмов тора// Усп. мат. наук. - 1998. - 53, № 6. - C. 259-260.15.Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. - М.: Факториал, 1998.16.Смейл С. Дифференцируемые динамические системы// Усп. мат. наук. - 1970. - 25, № 1. - С. 113- 185.17.Artin E., Fox R. H. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49.- С. 979-990.18.Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3// J. Dyn. Control Syst. - 2000. - 6. - С. 579-602.19.Conley C. Isolated invariant sets and Morse index. - Providence: Am. Math. Soc., 1978.20.Debrunner H., Fox R. A mildly wild imbedding of an n-frame// Duke Math. J. - 1960. - 27. - С. 425-429.21.Franks J. Nonsingular Smale flow on S3// Topology. - 1985. - 24, № 3. - С. 265-282.22.Franks J. A variation on the Poincare-Birkhoff theorem// Hamiltonian dynamical systems, Proc. AMSINS-SIAM Jt. Summer Res. Conf., Contemporary Math. - 1988. - 81. - С. 111-117.23.Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Self-indexing energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds// Mosc. Math. J. - 2009. - 9, № 4. - С. 801-821.24.Grines V. Z., Laudenbach F., Pochinka O. V. Dynamically ordered energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds// Proc. Steklov Inst. Math. - 2012. - 278, № 1. - С. 27-40.25.Grines V., Levchenko Y., Medvedev V., Pochinka O. The topological classification of structural stable 3-diffeomorphisms with two-dimensional basic sets// Nonlinearity. - 2015. - 28, № 11. - С. 4081-4102.26.Grines V., Medvedev T., Pochinka O. Dynamical systems on 2and 3-manifolds. - Cham: Springer, 2016.27.Grines V., Zhuzhoma E. On structurally stable diffeomorphisms with codimension one expanding attractors// Trans. Am. Math. Soc. - 2005. - 357, № 2. - С. 617-667.28.Harrold O. G., Griffith H. C., Posey E. E. A characterization of tame curves in three-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1955. - 79. - С. 12-34.29.Kaplan J., Mallet-Paret J., Yorke J. The Lyapunov dimension of nowhere differentiable attracting torus// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1984. - 2. - С. 261-281.30.Meyer K. R. Energy functions for Morse-Smale systems// Amer. J. Math. - 1968. - 90. - С. 1031-1040.31.Palis J. On Morse-Smale dynamical systems// Topology. - 1969. - 8. - С. 385-404.32.Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16. - С. 167-172.33.Robinson C. Dynamical Systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. - Boca Raton: CRC Press, 1999.34.Shub M. Morse-Smale diffeomorphisms are unipotent on homology// Dynamical Syst., Proc. Sympos. Univ. Bahia, Salvador 1971. - 1973. - С. 489-491.35.Shub M., Sullivan D. Homology theory and dynamical systems// Topology. - 1975. - 4. - С. 109-132.36.Smale S. Morse inequalities for a dynamical system// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 43-49.37.Smale S. On gradient dynamical systems// Annals Math. - 1961. - 74. - С. 199-206.38.Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - 73. - С. 747-817.39.Wilson W. Smoothing derivatives of functions and applications// Trans. Am. Math. Soc. - 1969. - 139.- С. 413-428.