Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2227210.22363/2413-3639-2018-64-3-459-489New ResultsНовые результатыResearch ArticleOperator Approach to the Problem on Small Motions of an Ideal Relaxing FluidОператорный подход к задаче о малых движениях идеальной релаксирующей жидкостиZakoraD AЗакораД Аdmitry.zkr@gmail.comV.I. Vernadsky Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет им. В. И. ВернадскогоVoronezh State UniversityВоронежский государственный университет15122018643Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума45948929112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22272In this paper, we study the problem on small motions of an ideal relaxing fluid that fills a uniformly rotating or fixed container. We prove a theorem on uniform strong solvability of the corresponding initial-boundary value problem. In the case where the system does not rotate, we find an asymptotic behavior of the solution under the stress of special form. We investigate the spectral problem associated with the system under consideration. We obtain results on localization of the spectrum, on essential and discrete spectrum, and on spectral asymptotics. For nonrotating system in zero-gravity conditions we prove the multiple basis property of a special system of elements. In this case, we find an expansion of the solution of the evolution problem in the special system of elements.В работе исследуется задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей равномерно вращающийся либо неподвижный контейнер. Доказана теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. В случае, когда система не вращается, найдено асимптотическое поведение решения задачи при нагрузках специального вида. Исследована спектральная задача, ассоциированная с изучаемой системой. Доказаны утверждения о локализации спектра, о существенном и дискретном спектре, об асимптотике спектра. В случае, если система находится в невесомости и не вращается, доказаны утверждения о кратной базисности специальной системы элементов. В этом случае найдено разложение решения эволюционной задачи по специальной системе элементов.1.Авакян В. А. Асимптотическое распределение спектра линейного пучка, возмущенного аналитической оператор-функцией// Функц. анализ и его прилож. - 1978. - 12, № 2. - С. 66-67.2.Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965.3.Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Сер. мат. анализ. - 1977. - 14.- С. 5-58.4.Власов В. В., Раутиан Н. А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. - М.: МАКС Пресс, 2016.5.Закора Д. А. Операторный подход к модели Ильюшина вязкоупругого тела параболического типа// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 57.- С. 31-64.6.Закора Д. А. Экспоненциальная устойчивость одной полугруппы и приложения// Мат. заметки. - 2018. - 103, № 5. - С. 702-719.7.Звягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2009. - 31. - С. 3-144.8.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.9.Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.10.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.11.Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. - Кишинев: Штиинца, 1986.12.Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1. - М.: Наука, 1967.13.Оразов М. Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов и связанные с ними задачи из механики// Дисс. докт. физ.-мат. наук (01.01.02). - Ашхабад, 1982.14.Радзиевский Г. В. Квадратичный пучок операторов// Препринт. - Киев, 1976.15.Birman M. Sh., Solomjak M. Z. Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. - Dordrecht- Boston-Lancaser-Tokyo: D. Reidel Publ. Co., 1986.16.Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A. Classes of linear operators. Vol. 1. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1990.17.Goldstein J. A. Semigroups of linear operators and applications. - New York: Oxford University Press, 1989.18.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint problems for viscous fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.19.Ralston J. V. On stationary modes in inviscid rotating fluids// J. Math. Anal. Appl. - 1973. - 44. - С. 366- 383.