Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2227110.22363/2413-3639-2018-64-3-427-458New ResultsНовые результатыResearch ArticleInverse Spectral Problem for Integrodifferential Sturm-Liouville Operators with Discontinuity ConditionsОбратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов Штурма- Лиувилля с условиями разрываButerinS AБутеринС Аbuterinsa@info.sgu.ruSaratov State UniversityСаратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского15122018643Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума42745829112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22271We consider the Sturm-Liouville operator perturbed by a convolution integral operator on a finite interval with Dirichlet boundary-value conditions and discontinuity conditions in the middle of the interval. We study the inverse problem of restoration of the convolution term by the spectrum. The problem is reduced to solution of the so-called main nonlinear integral equation with a singularity. To derive and investigate this equations, we do detailed analysis of kernels of transformation operators for the integrodifferential expression under consideration. We prove the global solvability of the main equation, this implies the uniqueness of solution of the inverse problem and leads to necessary and sufficient conditions for its solvability in terms of spectrum asymptotics. The proof is constructive and gives the algorithm of solution of the inverse problem.Рассматривается возмущение интегральным оператором свертки оператора Штурма- Лиувилля на конечном интервале с краевыми условиями Дирихле и условиями разрыва в середине интервала. Исследуется обратная задача восстановления сверточного слагаемого по спектру. Вопрос сведен к решению так называемого основного нелинейного интегрального уравнения с особенностью, для вывода и исследования которого проведен детальный анализ ядер операторов преобразования для рассматриваемого интегро-дифференциального выражения. Доказывается глобальная разрешимость основного уравнения, что позволяет доказать единственность решения обратной задачи и получить необходимые и достаточные условия ее разрешимости в терминах асимптотики спектра. Доказательство конструктивно и дает алгоритм решения обратной задачи.1.Бутерин С. А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором// Мат. заметки. - 2006. - 80, № 5. - С. 668-682.2.Бутерин С. А. О восстановлении сверточного возмущения оператора Штурма-Лиувилля по спектру// Дифф. уравн. - 2010. - 46, № 1. - С. 146-149.3.Бутерин С. А. Обратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов с условием разрыва// В сб.: «Математика. Механика. Т. 17». - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2015. - С. 9-12.4.Бутерин С. А. Обратная задача для интегро-дифференциального оператора второго порядка с условием разрыва// В сб.: «Совр. пробл. теории функций и их прил.». - Саратов: Изд-во «Научная книга», 2018. - С. 70-73.5.Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.6.Еремин М. С. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения второго порядка с особенностью// Дифф. уравн. - 1988. - 24, № 2. - С. 350-351.7.Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.8.Курышова Ю. В. Обратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов// Мат. заметки. - 2007. - 81, № 6. - С. 855-866.9.Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиздат, 1956.10.Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988.11.Маламуд М. М. О некоторых обратных задачах// В сб.: «Краевые задачи математической физики». - Киев: Наукова Думка, 1979. - С. 116-124.12.Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977.13.Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1977.14.Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов первого порядка// В сб.: «Функциональный анализ». - Ульяновск, 1984. - С. 144-151.15.Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов// Мат. заметки. - 1991. - 50, № 5. - С. 134-144.16.Юрко В. А. О краевых задачах с условиями разрыва внутри интервала// Дифф. уравн. - 2000. - 36, № 8. - С. 1139-1140.17.Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных систем на конечном интервале в случае кратных корней характеристического многочлена// Дифф. уравн. - 2005. - 41, № 6. - С. 781-786.18.Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. - М.: Физматлит, 2007.19.Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and inverse scattering on the line. - Providence: AMS, 1988.20.Bondarenko N. P. An inverse problem for an integro-differential operator on a star-shaped graph// Math. Methods Appl. Sci. - 2018. - 41, № 4. - С. 1697-1702.21.Bondarenko N., Buterin S. On recovering the Dirac operator with an integral delay from the spectrum// Results Math. - 2017. - 71, № 3-4. - С. 1521-1529.22.Buterin S. A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator// Results Math. - 2007. - 50, № 3-4. - С. 173-181.23.Buterin S. A. On inverse spectral problems for first-order integro-differential operators with discontinuities// Appl. Math. Lett. - 2018. - 78.- С. 65-71.24.Buterin S. A., Choque Rivero A. E. On inverse problem for a convolution integro-differential operator with Robin boundary conditions// Appl. Math. Lett. - 2015. - 48. - С. 150-155.25.Buterin S. A., Sat M. On the half inverse spectral problem for an integro-differential operator// Inverse Probl. Sci. Eng. - 2017. - 25, № 10. - С. 1508-1518.26.Buterin S. A., Vasiliev S. V. On uniqueness of recovering the convolution integro-differential operator from the spectrum of its non-smooth one-dimensional perturbation// Bound. Value Probl. - 2018. - 2018, № 55. - https://doi.org/10.1186/s13661-018-0974-2.27.Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm-Liouville problems and their applications. - New York: NOVA Science Publ., 2001.28.Freiling G., Yurko V. A. Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differential operators with discontinuities in an interior point// Inverse Problems. - 2002. - 18. - С. 757-773.29.Hald O. H. Discontinuous inverse eigenvalue problems// Commun. Pure Appl. Math. - 1984. - 37.- С. 539-577.30.Hardy G. H., Littlewood J. E., Po´lya G. Inequalities. - Cambridge: Cambridge University Press, 1988.31.Ignatiev M. On an inverse spectral problem for one integro-differential operator of fractional order// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2018. - DOI: 10.1515/jiip-2017-0121.32.Ignatyev M. On an inverse spectral problem for the convolution integro-differential operator of fractional order// Results Math. - 2018. - DOI: 10.1007/s00025-018-0800-2.33.Krueger R. J. Inverse problems for nonabsorbing media with discontinuous material properties// J. Math. Phys. - 1982. - 23, № 3. - С. 396-404.34.Kuryshova Yu. V., Shieh C.-T. An inverse nodal problem for integro-differential operators// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2010. - 18, № 4. - С. 357-369.35.Lakshmikantham V., Rama Mohana Rao M. Theory of integro-differential equations. - Singapore: Gordon & Breach Sci. Publ., 1995.36.Manafov M. Dzh. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operator with integral delay// Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - 2017, № 12. - С. 1-8.37.Shepelsky D. G. The inverse problem of reconstruction of the medium’s conductivity in a class of discontinuous and increasing functions// В сб.: «Spectral Operator Theory and Related Topics». - Providence: Am. Math. Soc., 1994. - С. 209-232.38.Shieh C.-T., Yurko V. A. Inverse nodal and inverse spectral problems for discontinuous boundary value problems// J. Math. Anal. Appl. - 2008. - 347. - С. 266-272.39.Wang Y.-P. Inverse problems for Sturm-Liouville operators with interior discontinuities and boundary conditions dependent on the spectral parameter// Math. Methods Appl. Sci. - 2013. - 36, № 7. - С. 857- 868.40.Wang Y. P. Inverse problems for discontinuous Sturm-Liouville operators with mixed spectral data// Inverse Probl. Sci. Eng. - 2015. - 23, № 7. - С. 1180-1198.41.Wang Y.-P., Wei G. The uniqueness for Sturm-Liouville problems with aftereffect// Acta Math. Sci. - 2012. - 32A, № 6. - С. 1171-1178.42.Wang Y. P., Yurko V. A. On the inverse nodal problems for discontinuous Sturm-Liouville operators// J. Differ. Equ. - 2016. - 260, № 5. - С. 4086-4109.43.Yang C. F. Inverse nodal problems of discontinuous Sturm-Liouville operator// J. Differ. Equ. - 2013. - 254, № 4. - С. 1992-2014.44.Yang C.-F., Yang X.-P. An interior inverse problem for the Sturm-Liouville operator with discontinuous conditions// Appl. Math. Lett. - 2009. - 22, № 9. - С. 1315-1319.45.Yurko V. A. Integral transforms connected with discontinuous boundary value problems// Integral Transforms Spec. Funct. - 2000. - 10, № 2. - С. 141-164.46.Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators and their applications. - Amsterdam: Gordon & Breach Sci. Publ., 2000.47.Yurko V. A. Method of spectral mappings in the inverse problem theory. - Utrecht: VSP, 2002.48.Yurko V. A. An inverse spectral problems for integro-differential operators// Far East J. Math. Sci. - 2014. - 92, № 2. - С. 247-261.49.Yurko V. A. Inverse problems for second order integro-differential operators// Appl. Math. Lett. - 2017. - 74.- С. 1-6.50.Yurko V. A. Inverse spectral problems for first order integro-differential operators// Bound. Value Probl. - 2017. - 2017, № 98. - https://doi.org/10.1186/s13661-017-0831-8.