Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2226610.22363/2413-3639-2018-64-1-148-163New ResultsНовые результатыResearch ArticleBoundedness and Finite-Time Stability for Multivalued Doubly-Nonlinear Evolution Systems Generated by a Microwave Heating ProblemОграниченность и устойчивость на конечных интервалах для многозначных дважды нелинейных эволюционных систем, порожденных задачей микроволнового нагреваPopovSПоповСpsa.87@mail.ruReitmannVРайтманнФvreitmann@aol.comSkopinovSСкопиновСserg_vologda@mail.ruSt. Petersburg State UniversityСанкт-Петербургский государственный университет15122018641Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения14816329112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22266Doubly-nonlinear evolutionary systems are considered. Sufficient conditions of the boundedness of solutions of such systems are derived. Analogical results for a one-dimensional microwave heating problem are proved. The notions of global process and of a local multivalued process are introduced. Sufficient conditions for the finite-time stability of a global process and of a local multivalued process are shown. For local multivalued processes sufficient conditions for the finite-time instability are derived. For the one-dimensional microwave heating problem conditions of the finite-time stability are shown.Рассматриваются дважды нелинейные эволюционные системы. Получены достаточные условия ограниченности их решений. Аналогичные результаты получены для одномерной задачи микроволнового нагрева. Вводятся понятия глобального процесса и локального многозначного процесса. Для глобального процесса и локального многозначного процесса представлены достаточные условия устойчивости на конечном интервале времени. Для локальных многозначных процессов найдены достаточные условия неустойчивости на конечном интервале времени. Для одномерной задачи микроволнового нагрева представлены условия устойчивости на конечном интервале времени.1.Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965.2.Ермаков И. В., Калинин Ю. Н., Райтманн В. Определяющие моды и почти периодические интегралы для коциклов// Дифф. уравн. - 2011. - 47, № 13. - С. 1-16.3.Лихтарников А. Л. Критерии абсолютной устойчивости нелинейных операторных уравнений// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1977. - 41, № 5. - C. 1064-1083.4.Лихтарников А. Л., Якубович В. Частотная теорема для уравнений эволюционного типа// Сиб. мат. ж. - 1976. - 17, №5. - C. 790-803.5.Райтманн Ф., Скопинов С. Н. Устойчивость на конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволнового нагрева// Вестн. СПб. ун-та. Сер. 1. - 2015. - 2(60), № 1. - С. 54-59.6.Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. Ассимптотическое поведение решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае// Вестн. СПб. ун-та. Сер. 1. - 2012. - № 3. - С. 59-62.7.Четаев Н. Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений// Прикл. мат. мех. - 1960. - 34.- С. 6-18.8.Dafermos C. M. An invariance principle for compact process// J. Differ. Equ. - 1971. - 9. - С. 239-252.9.Datko R. Extending a theorem of A. M. Liapunov to Hilbert spaces// Rend. Mat. Acc. Lincei. - 1994. - 5. - С. 297-302.10.DiBenedetto E., Vespri V. Exponential attractors for a doubly nonlinear equation// J. Math. Anal. Appl. - 1994. - 185. - С. 321-339.11.Eden A., Rakotoson J. M. Continuity for bounded solutions of multiphase Stefan problem// J. Math. Anal. Appl. - 1974. - 32. - С. 610-616.12.Glassey К., Yin H.-M. On Maxwell’s equations with a temperature effect. II// Commun. Math. Phys. - 1998. - 194. - С. 343-358.13.Kalinichenko D. Yu., Reitmann V., Skopinov S. N. Asymptotic behavior of solutions to a coupled system of Maxwell’s equations and a controlled differential inclusion// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2013. - Supplement. - С. 407-414.14.Kapustyan A. V., Melnik V. S., Valero J. Attractors of multivalued dynamical processes generated by phase-field equations// Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. - 2003. - 13, № 7. - С. 1969-1983.15.Lions J. L., Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications. - Berlin-Heidelberg-N.-Y.: Springer-Verlag, 1972.16.Manoranjan V. S., Showalter R., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A. - 2006. - 15, № 4. - С. 1155-1168.17.Matas A., Merker J. Strong solutions of doubly nonlinear parabolic equations// Z. Anal. Anwend. - 2012. - 31, № 2. - С. 217-235.18.Merker J. Strong solutions of doubly nonlinear Navier-Stokes equations// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2011. - Supplement. - С. 1052-1060.19.Pankov A. Bounded and almost periodic solutions of nonlinear operator differential equations. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.20.Popov S. A., Reitmann V. Frequency domain conditions for finite dimensional projectors and determining observations for the set of amenable solutions// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2014. - 34, № 1. - С. 249- 267.21.Weiss L., Infante E. F. On the stability of systems defined over a finite time interval// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1965. - 54.- С. 44-48.22.Yin H.-M. On Maxwell’s equations in an electromagnetic field with the temperature effect// SIAM J. Math. Anal.- 1998.- 29, № 3. - С. 637-651.23.Zyryanov D. A., Reitmann V. Attractors in multivalued dynamical systems for the two-phase heating problem// Electron. J. Differ. Equ. Control Processes. - 2017. - 4. - С. 118-138.