Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2226310.22363/2413-3639-2018-64-1-86-97New ResultsНовые результатыResearch ArticleSchlesinger’s Equations for Upper Triangular Matrices and Their SolutionsУравнения Шлезингера для верхнетреугольных матриц и их решенияLexinV PЛексинВ Пlexin_vpmail.ruState Socio-Humanitarian UniversityГосударственный социально-гуманитарный университет15122018641Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения869729112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22263We consider explicit integral expressions of hypergeometric and hyperelliptic types for solutions of Schlesinger’s equations in classes of upper triangular matrices with eigenvalues that produce arithmetic progressions with the same difference. These integral representations extend and generalize earlier known results.В настоящей работе рассмотрены явные интегральные выражения гипергеометрического и гиперэллиптического типа для решений уравнений Шлезингера в классах верхнетреугольных матриц с собственными числами, образующими арифметические прогрессии с одинаковой разностью. Полученные интегральные представления дополняют и обобщают ранее известные результаты.1.Болибрух А. А. Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.: МЦНМО, 2009.2.Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. - М.: Физматлит, 1963.3.Aomoto K. On the structure of integrals of power product of linear functions// Sci. Papers College Gen. Edu. Univ. Tokyo. - 1977. - 27, № 2. - С. 49-61.4.Aomoto K. Founctions hyperlogarithmiques et groupes de monodromie unipotens// Sci. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. - 1978. - 25. - С. 149-156.5.Deligne P., Mostow G. D. Monodromy of hypergeometric functions and non-lattice integral monodromy// Publ. IHES. - 1986. - 63. - С. 5-90.6.Dragovich V., Schramchenko V. Algebro-geometric solutions to triangular Schlesinger systems// arxiv: 1604.01820v2[math.AG].7.Dubrovin B., Mazzocco M. On the reductions and classical solutions of the Schlesinger equations// В сб. «Differential Equations and Quantum Groups». - Strasburg: IRMA, 2007. - C. 157-187.8.Gontsov R. R., Leksin V. P. On the reducibility of Schlesinger isomonodromic families// В сб. «Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE 2012». - Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2014. - C. 21-34.9.Kapovich M., Millson J. Quantization of bending deformations of polygons in E3, hypergeometric integrals and the Gassner representation// Can. Math. Bull. - 2001. - 44, № 1. - C. 36-60.10.Katz N., Oda T. On the differentiation of de Rham cohomology classes with respect to parameters// J. Math. Kyoto Univ. - 1968. - 8. - C. 199-213.11.Kohno T. Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations// Contemp. Math. - 1988. - 78. - C. 339-363.12.Leksin V. P. Isomonodromy deformations and hypergeometric-type systems// В сб. «Painleve´ Equations and Related Topics». - Berlin-Boston: Walther de Gruyter, 2012. - C. 117-122.13.Zˇoladek H. The Monodromy Group. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2006.