Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2225010.22363/2413-3639-2019-65-3-434-512New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Oscillations of Connected Pendulums with Cavities Filled with Homogeneous FluidsО колебаниях сочлененных маятников с полостями, заполненными однородными жидкостямиKopachevskyN DКопачевскийН Дkopachevsky@list.ruVoytitskyV IВойтицкийВ Иvictor.voytitsky@gmail.comTaurida Academy, V. I. Vernadsky Crimea Federal UniversityТаврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского15122019653Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума43451227112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22250We consider the problem and normal (eigen) oscillations of the system of three connected (coupled to each other) pendulums with cavities filled with one or several immiscible homogeneous fluids. We study the case of partially dissipative system when the cavity of the first pendulum is completely filled with two ideal fluids, the cavity of the second one is filled with three viscous fluids, and the cavity third one is filled with one ideal fluid. We use methods of functional analysis. We prove the theorem on correct solvability of the initial-boundary value problem on any interval of time. We study the case of eigen oscillations of conservative system where all fluids in cavities of pendulums are ideal and the friction in joints (points of suspension) is not taken into account. We consider in detail three auxiliary problems on small oscillations of single pendulums with three above variants of fluids in cavities.Рассматривается задача о малых движениях и нормальных (собственных) колебаниях системы из трех сочлененных (прицепленных один к другому) маятников, имеющих полости, заполненные одной или несколькими несмешивающимися однородными жидкостями. Изучен случай частично диссипативной системы, когда полость первого маятника целиком заполнена двумя идеальными жидкостями, второго - тремя вязкими жидкостями, для третьего - одной идеальной жидкостью. Исследование проводится методами функционального анализа. Доказана теорема о корректной разрешимости начально-краевой задачи на произвольном отрезке времени, изучен вариант собственных колебаний консервативной системы, когда все жидкости в полостях маятников идеальные и трение в шарнирах (точках подвеса) не учитывается. Подробно рассмотрены три вспомогательные задачи о малых колебаниях одиночных маятников с тремя указанными выше вариантами заполнения полостей.1.Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.: МЦНМО, 2013.2.Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.3.Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Приложения индефинитной метрики. - Симферополь: ДИАЙПИ, 2014.4.Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика невесомости. - М.: Наука, 1976.5.Батыр Э. И., Копачевский Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы сочлененных гиростатов// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 49. - С. 5-88.6.Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Мат. анализ. - 1977. - 14.- С. 5-52.7.Войтицкий В. И. К проблеме малых движений системы трех сочлененных маятников с полостями, заполненными однородными несжимаемыми жидкостями// Динам. сист. - 2018. - 8, № 4. - С. 337- 356.8.Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых колебаниях системы из трех сочлененных маятников с полостями, заполненными несмешивающимися несжимаемыми жидкостями// Материалы межд. конф. «Современные методы и проблемы математической гидродинамики», Воронеж, 3-8 мая 2018 г. - 2018. - C. 84-91.9.Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых движениях физического маятника, содержащего полость, заполненную системой однородных несмешивающихся жидкостей// Сб. материалов межд. конф.«XXIX Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2018). Секции 1-3. - Симферополь: Полипринт, 2018. - С. 58-62.10.Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых движениях физического маятника с полостью, заполненной системой трех однородных несмешивающихся вязких жидкостей// Тавр. вестн. информ. и мат. - 2018. - № 3. - С. 22-45.11.Вулис И. Л., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика вырождающейся задачи Стеклова // Вестн. ЛГУ. - 1973. - 19. - C. 148-150.12.Вулис И. Л., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов второго порядка// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1974. - 38, № 6. - C. 1362-1392.13.Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. - Киев: Выща школа, 1989.14.Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью// В сб.: «Избранные сочинения. Т. 1». - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - С. 31-52.15.Кононов Ю. Н. О движении связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость// Мех. тверд. тела. - 2000. - 30. - С. 207-216.16.Копачевский Н. Д. О колебаниях тела с полостью, частично заполненной тяжелой идеальной жидкостью: теоремы существования, единственности и устойчивости сильных решений// Пробл. динам. та стiйк. багатовимiр. систем. - 2005. - 2, № 1. - С. 158-194.17.Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 57. - С. 71-105.18.Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. - Симферополь: ООО «ФОРМА», 2016.19.Копачевский Н. Д., Войтицкий В. И., Ситшаева З. З. О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащих полости, частично заполненные несжимаемой жидкостью// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2017. - 63, № 4. - C. 627-677.20.Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.21.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.22.Крейн С. Г., Моисеев Н. Н. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной границей// Прикл. мат. мех. - 1957. - 21, № 2. - С. 169-174.23.Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.24.Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. И. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. - Киев: Наукова думка, 1989.25.Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. - М.: Машиностроение, 1968.26.Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.27.Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот и колебаний ограниченного объема жидкости. - М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1966.28.Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. - М.: Наука, 1965.29.Мышкис А. Д., Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. - Киев: Наукова думка, 1992.30.Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И. А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. - М.: Машиностроение, 1977.31.Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1944. - 8, № 6. - C. 243-280.32.Рапопорт И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. - М.: Машиностроение, 1967.33.Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных областях. - Киев: Наукова думка, 1969.34.Харламов П. В. Составной пространственный маятник// Мех. тверд. тела. - 1972. - 4. - С. 73-82.35.Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. - М.: ВЦ АН СССР, 1968.36.Gagliargo E. Caratterizzazioni delle trace sulla frontiera relative ad alaine classi di funzioni in n variabili// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 1957. - 27. - С. 284-305.37.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. - Vol. 1: Self-adjoint problems for an ideal fluid. - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 2001.38.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint problems for viscous fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 2003.39.Myshkis A. D., Babskii V. G., Kopachevsky N. D., Slobozhanin L. A., Tyuptsov A. D. Low-gravity fluid mechanics. mathematical theory of capillary phenomena. - Berlin: Springer, 1987.